Тройка

монада, в категории - моноид в категории функторов. Другими словами, Т. в категории [img: http://localhost:8080/file/052017-34.jpg] наз. ковариантный функтор [img: http://localhost:8080/file/052017-35.jpg] снабженный такими естественными преобразованиями [img: http://localhost:8080/file/052017-36.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052017-37.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052017-38.jpg] что следующие диаграммы коммутативны (здесь [img: http://localhost:8080/file/052017-39.jpg] обозначает тождественный функтор категории [img: http://localhost:8080/file/052017-40.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052017-41.jpg] Иногда Т. наз. стандартной конструкцией. Для любой пары сопряженных функторов [img: http://localhost:8080/file/052017-42.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052017-43.jpg] функтор [img: http://localhost:8080/file/052017-44.jpg] является тройкой вместе с морфизмами [img: http://localhost:8080/file/052017-45.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052017-46.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052017-47.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052017-48.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052017-49.jpg] - единица и коединица сопряжения. Обратно, для произвольной тройки [img: http://localhost:8080/file/052017-50.jpg] существует такая пара сопряженных функторов Fи G, что T=FG, а преобразования [img: http://localhost:8080/file/052017-51.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052017-52.jpg] получаются из единицы и коединицы сопряжения описанным выше способом. Подобных различных разложений для Т. может оказаться целый класс. В этом классе имеется наименьший элемент (конструкция Клейсли) и наибольший элемент (конструкция Эйленберга - Мура). Примеры. 1) В категории множеств функтор взятия множества подмножеств произвольного множества обладает структурой Т. каждое множество X естественно вкладывается в множество своих подмножеств, а каждому множеству подмножеств Xсопоставляется объединение этих подмножеств. 2) В категории множеств каждый основной функтор HA(X) = Н(А, X)является Т.: отображение [img: http://localhost:8080/file/052017-53.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052017-54.jpg] сопоставляет каждому [img: http://localhost:8080/file/052017-55.jpg] функцию [img: http://localhost:8080/file/052017-56.jpg] тождественно равную х;отображение [img: http://localhost:8080/file/052017-57.jpg] сопоставляет каждой функции от двух переменных ее ограничение на диагональ. 3) В категории R-модулей над коммутативным кольцом Rфунктор [img: http://localhost:8080/file/052017-58.jpg] снабжается структурой Т., аналогичной структуре из примера 2). 4) В категории топологич. пространств каждая топологич. группа Gпозволяет определить функтор [img: http://localhost:8080/file/052017-59.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052017-60.jpg] к-рый является Т.: каждый элемент [img: http://localhost:8080/file/052017-61.jpg] переходит в элемент (х, е), где е - единичный элемент группы G, а отображение [img: http://localhost:8080/file/052017-62.jpg] определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/052017-63.jpg]