Туэ метод

- метод в теории диофантовых приближений, созданный А. Туэ [1] в связи с проблемой приближения алгебраич. чисел рациональными числами: найти величину v=v(n), при к-рой для каждого алгебраич. числа [img: http://localhost:8080/file/052018-24.jpg] степени n неравенство [img: http://localhost:8080/file/052018-25.jpg] (1) имеет коночное число решений в целых рациональных числах ри q, q>0,при любом [img: http://localhost:8080/file/052018-26.jpg] и бесконечное число решений при любом [img: http://localhost:8080/file/052018-27.jpg] А. Туэ показал, что [img: http://localhost:8080/file/052018-28.jpg] Т. м. основан на свойствах специального многочлена j(x, у)от двух переменных х, у с целыми коэффициентами и предположении существования двух решений неравенства (1) при [img: http://localhost:8080/file/052018-29.jpg] с достаточно большими значениями q. Теорема Туэ имеет много важных приложений в теории чисел. В частности, из нее следует, что диофантово уравнение [img: http://localhost:8080/file/052018-30.jpg] где F(x, у)- неприводимая форма от переменныx хи у с целыми коэффициентами степени [img: http://localhost:8080/file/052018-31.jpg] а т - целое число, может иметь не более, чем конечное число, решений в целых числах хи у. Окончательную оценку величины v в неравенстве (1) получил К. Рог (К. Roth, [2]) путем обобщения Т. м. на случай многочлена любого числа переменных, подобного многочлену f(x, у), и использования большего числа решений неравенства (1). Результат - теорема Туэ - 3игеля - Рота: v=2 для любого [img: http://localhost:8080/file/052018-32.jpg] Т. м. имеет обобщение на случай приближения алгебраич. чисел алгебраич. числами. Т. м. является общим методом доказательства конечности целых точек на широкого класса кривых алгебраич. многообразий (см. Диофантова геометрия, Диофантово множество). Наряду с этим Т. м. имеет существенный недостаток - является неэффективным методом в том смысле, что не дает ответа на вопрос, существуют ли на самом деле используемые в доказательствах решения неравенств (1) или соответствующих уравнений (2). Таким образом, Т. м., решая вопрос о конечности числа решений уравнения (2), не дает возможности определить, разрешимо ли конкретное уравнение такого типа и каковы количествен, оценки решений х, у в зависимости от F. См. также Диофантовых приближений проблемы эффективизации.