Узлов и зацеплений группы

класс групп, изоморфных фундаментальным группам [img: http://localhost:8080/file/052102-140.jpg] дополнительных пространств [img: http://localhost:8080/file/052102-141.jpg] зацеплений kкоразмерности 2 в сферах Sn. Для случая [img: http://localhost:8080/file/052102-142.jpg] группы G гладких зацеплений кратности [img: http://localhost:8080/file/052102-143.jpg] выделяются такими свойствами [3]: 1) G порождается как свoй нормальный делитель [img: http://localhost:8080/file/052102-144.jpg] элементами; 2) двумерная группа гомологии H2(G; Z) группы G с целыми коэффициентами и тривиальным действием G в Zравна 0; 3) факторгруппа Gпо ее коммутанту G' равна свободной абелевой группе [img: http://localhost:8080/file/052102-145.jpg] ранга [img: http://localhost:8080/file/052102-146.jpg] Если G - группа зацепления k, то свойство 1) выполнено, так как G становится единичной группой после приравнивания единице меридианов (см. ниже), свойство 2) вытекает из теоремы Xопфа, согласно к-рой H2 (G; Z)есть факторгруппа группы H2 (М (k); Z),равной нулю в силу Александера двойственности; свойство 3) вытекает из того, что [img: http://localhost:8080/file/052102-147.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052102-148.jpg] по двойственности Александера. В случаях n=3 и n=4 необходимые и достаточные условия еще (1984) не получены. Если п=3, то k не распадается тогда и только тогда, когда М(k)асферично, т. е. является пространством Эйленберга - Маклейна типа R(G, 1). Зацеплении kраспадается тогда и только тогда, когда дефект группы G больше единицы [3]. Дополнение многомерного [img: http://localhost:8080/file/052102-149.jpg] зацепления, имеющего больше одной компоненты, никогда не асферично, а дополнение многомерного узла может быть асферичным только при условии [img: http://localhost:8080/file/052102-150.jpg] Более того, при [img: http://localhost:8080/file/052102-151.jpg] всякий n-мерный узел с асферичным дополнением тривиален. Известно также, что при n=3 зацепление тривиально тогда и только тогда, когда его группа свободна [3]. Дальше принимается, что n=3. Для получения копредставления группы G(k)по общему правилу (см. Фундаментальная группа)в S3 строят двумерный комплекс К, содержащий исходный узел kи такой, что [img: http://localhost:8080/file/052102-152.jpg] Тогда 2-клетки Кдают систему образующих G(k), а обходы вокруг 1-клеток из [img: http://localhost:8080/file/052102-153.jpg] - соотношения. Если в качестве Квзять конус над k, идущий из точки снизу от плоскости проекции, получается верхнее копредставление Виртингера (см. Узлов и зацеплений диаграммы). Если в качестве. взять объединение черной и белой поверхностей, получаемых из диаграммы k(удалив внешнюю область), получится копредставление Дена. Задание kв виде замкнутой косы приводит к копредставлению G (k)вида [img: http://localhost:8080/file/052102-154.jpg] где Li- слово в алфавите [img: http://localhost:8080/file/052102-155.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/052102-157.jpg] в свободной группе [img: http://localhost:8080/file/052102-156.jpg] При этом каждое копредставление такого типа получается из замкнутой косы. О других копредставлениях см. [11, [2], [4], [7], [8]. Сравнение верхнего и нижнего непредставлений Виртингера приводит к особого рода двойственности в G(k)(см. [7]). Она формулируется в терминах исчисления Фокса: G(k)имеет два таких непредставления (xi; rj)и (yi; sj), что для нек-рой их эквивалентности [img: http://localhost:8080/file/052103-1.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/052103-2.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052103-3.jpg] где сравнения берутся по модулю ядрагомоморфизма группового кольца свободной группы на групповое кольцо G/G'. Из этой двойственности вытекает симметрия в Александера инвариантах. Проблема тождества решается лишь для отдельных классов узлов (напр., для торических, нек-рых крендельных [6] и др.). Не существует (см. [1]) алгоритма для распознавания групп трехмерных узлов по копредставлениям. Более сильным инвариантом для kявляется групповая система <G, Ti>, состоящая из G(k) я из системы классов Т i сопряженных подгрупп. Подгруппа [img: http://localhost:8080/file/052103-4.jpg] наз. периферической подгруппой компоненты ki; это образ при гомоморфизме вложения фундаментальной группы [img: http://localhost:8080/file/052103-5.jpg] края нек-рой регулярной окрестности N(ki) компоненты [img: http://localhost:8080/file/052103-6.jpg] Если ki не является тривиальным узлом, отделенным от остальных компонент 2-сферой, то [img: http://localhost:8080/file/052103-7.jpg] Меридиан и параллель в [img: http://localhost:8080/file/052103-8.jpg] порождает в Si два элемента, к-рые также наз. меридианом т i и параллелью li для ki в групповой системе. В случае [img: http://localhost:8080/file/052103-9.jpg] параллель определяется самой группой Gв подгруппе Si однозначно, а меридиан только с точностью до сомножителя вида [img: http://localhost:8080/file/052103-10.jpg] О силе <G, Ti> как инварианта см. Узлов теория. Группа автоморфизмов группы Gполностью изучена лишь для торич. зацеплений, для Листинга узла и, в значительной степени, для Нейвирта узлов (см. [2]). Представления Gв различных группах, особенно с учетом <G, Ti>,- мощный метод различения узлов. Напр., представления в группе движений плоскости Лобачевского позволяют заметить необратимые узлы. Систематически изучены метациклич. представления. Если kне распадается, то для подгрупп [img: http://localhost:8080/file/052103-11.jpg] пространствами типа К(F;1) служат накрывающие М, к-рые, как и М, имеют гомотопический тип двумерного комплекса. Отсюда следует, что абелевы подгруппы G(k)изоморфны J или [img: http://localhost:8080/file/052103-12.jpg] в частности, G(k)не имеет элементов конечного порядка. Для [img: http://localhost:8080/file/052103-13.jpg] периферич. подгруппы Si являются максимальными во множестве абелевых подгрупп. Центр имеют только группы торич. зацеплений [10]. Особую роль играет подгруппа L(k), в к-рую входят элементы G(k), коэффициент зацепления к-рых с объединением ориентированных компонент ki равен нулю. Если [img: http://localhost:8080/file/052103-14.jpg] то L(k) - коммутант. Вообще, [img: http://localhost:8080/file/052103-15.jpg] Поэтому L(k)служит группой накрывающего [img: http://localhost:8080/file/052103-16.jpg] над М(k)с бесконечной циклич. группой f скольжений. Если F(k) - связная ориентируемая поверхность в S3 с краем k, то она накрыта в [img: http://localhost:8080/file/052103-17.jpg] счетной системой поверхностей [img: http://localhost:8080/file/052103-18.jpg] к-рые разрезают [img: http://localhost:8080/file/052103-19.jpg] на счетное число кусков Mj (край [img: http://localhost:8080/file/052103-20.jpg] Отсюда получается, что L(k)есть предел диаграммы [img: http://localhost:8080/file/052103-21.jpg] где все [img: http://localhost:8080/file/052103-22.jpg] индуцированы вложением. Оказывается, что либо все они - изоморфизмы, либо ни один из них не эпиморфен [2]. Если род связной F(k)равен роду [img: http://localhost:8080/file/052103-23.jpg] зацепления (такое kназ. вполне неразложимым), то все [img: http://localhost:8080/file/052103-24.jpg] - мономорфизмы, и тогда L(k) - либо свободная группа ранга [img: http://localhost:8080/file/052103-25.jpg] либо не имеет конечной системы образующих (и не свободна, если приведенный многочлен Александера не нуль; это так, в частности, для узлов). Вполне неразложимое зацепление с конечно порожденной L(k)наз. зацеплением Нейвирта.