Унитарная группа

относительно формы f - группа Un(К, f) всех линейных преобразований [img: http://localhost:8080/file/052106-45.jpg] n-мерного правого линейного пространства Vнад телом К, сохраняющих фиксированную невырожденную полуторалинейную (относительно инволюции J тела К)форму f на V, т. е. таких [img: http://localhost:8080/file/052106-46.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/052106-47.jpg] У. г. принадлежит к числу классических групп. Частными случаями У. г. являются симплектическая группа (в этом случае К - поле, J=1и f - знакопеременная билинейная форма) и ортогональная группа(К - поле, char [img: http://localhost:8080/file/052106-48.jpg] J=1, f - симметрическая билинейная форма). Далее, пусть [img: http://localhost:8080/file/052106-49.jpg] и f обладает свойством (Т)(см. Витта теорема). Умножая f на подходящий скаляр, можно, не меняя У. г., добиться того, чтобы f стала эрмитовой формой, а меняя, сверх того, J,- чтобы f стала косоэрмитовой формой. Если исключить случай n=2, [img: http://localhost:8080/file/052106-50.jpg] то всякий элемент У. г. U п(К, f) является произведением не более чем п+l квазиотражении (т. е. преобразований, оставляющих на месте все элементы какой-либо неизотропной гиперплоскости в V). Центр Zn У. г. Un(K, f) состоит из всех гомотетий пространства Vвида [img: http://localhost:8080/file/052106-51.jpg] Пусть v - индекс Витта формы f. Если [img: http://localhost:8080/file/052106-52.jpg] то удобно считать f косоэрмитовой. Пусть Т п(К, f) - нормальный делитель в Un(K, f), порожденный унитарными сдвигами, т. е. линейными преобразованиями вида [img: http://localhost:8080/file/052106-53.jpg] где а - изотропный вектор пространства V, а [img: http://localhost:8080/file/052106-54.jpg] Центром группы Т п(К, f) является группа [img: http://localhost:8080/file/052106-55.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052106-56.jpg] Факторгруппа Т п(К, f)/Wn проста при [img: http://localhost:8080/file/052106-57.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/052106-58.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/052106-59.jpg] Строение факторгруппы Un(K,f)/ Т п(К, f) описывается следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052106-60.jpg] - подгруппа мультипликативной группы К* тела К, порожденная [img: http://localhost:8080/file/052106-61.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/052106-62.jpg] - подгруппа в К*, порожденная элементами [img: http://localhost:8080/file/052106-63.jpg] обладающими следующим свойством: в F существует такая гиперболическая плоскость (т. е. двумерное неизотропное подпространство, содержащее изотропный вектор), что [img: http://localhost:8080/file/052106-64.jpg] для нек-рого вектора [img: http://localhost:8080/file/052106-65.jpg] ортогонального к указанной плоскости. Эти подгруппы являются нормальными в К*. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052106-66.jpg] - подгруппа в К*, порожденная коммутаторами [img: http://localhost:8080/file/052106-67.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052106-68.jpg] Если исключить случай n= 3, [img: http://localhost:8080/file/052106-69.jpg] то Un(K, f)/ Т п(К, f) при [img: http://localhost:8080/file/052106-70.jpg] изоморфна [img: http://localhost:8080/file/052106-71.jpg] Группа Т п(К, f) во многих случаях совпадает с коммутантом У. г. Т п(К, f): это верно, напр., если [img: http://localhost:8080/file/052106-72.jpg] Если Ккоммутативно и [img: http://localhost:8080/file/052106-73.jpg] то Т п(К, f) совпадает с нормальной подгруппой [img: http://localhost:8080/file/052106-74.jpg] состоящей из тех элементов, определитель Дьёдонне к-рых равен 1 (за исключением случая n=3, [img: http://localhost:8080/file/052106-75.jpg] Соотношения между [img: http://localhost:8080/file/052106-76.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052106-77.jpg] исследованы также в случае, когда тело Кимеет конечную размерность над своим центром [1]. Пусть теперь v=0. Тогда многие из указанных результатов неверны (имеются примеры У. г., обладающих бесконечным рядом нормальных делителей с абелевыми факторами, примеры У. г., для к-рых n=2и [img: http://localhost:8080/file/052106-78.jpg] не совпадает со своим коммутантом и т. п.). Наиболее изученными являются случаи локально компактного поля характеристики [img: http://localhost:8080/file/052106-79.jpg] и поля алгебраич. чисел. Один из основных результатов об автоморфизмах У. г. состоит в следующем (см. [1]): если char [img: http://localhost:8080/file/052106-80.jpg] a [img: http://localhost:8080/file/052106-81.jpg] то всякий автоморфизм У. г. Т п(К, f) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052106-82.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052106-83.jpg] - гомоморфизм Т п(К, f) в со центр Zn, a g - унитарное полуподобие пространства V(т. е. биективное полулинейное отображение [img: http://localhost:8080/file/052106-84.jpg] удовлетворяющее условию [img: http://localhost:8080/file/052106-85.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052106-86.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/052106-87.jpg] - автоморфизм K, связанный с g). Если nчетно, [img: http://localhost:8080/file/052106-88.jpg] К - поле характеристики [img: http://localhost:8080/file/052106-89.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052106-90.jpg] то всякий автоморфизм группы [img: http://localhost:8080/file/052106-91.jpg] индуцируется автоморфизмом группы Т п(К, f). Если [img: http://localhost:8080/file/052106-92.jpg] - автоморфизм комплексного сопряжения и эрмитова форма f положительно определена, то У. г. Т п(К, f)обозначается через Un;она является компактной вещественной связной группой Ли и часто наз. просто У. г. В случае неопределенной формы / группу [img: http://localhost:8080/file/052106-93.jpg] часто наз. псевдоунитарной. С помощью выбора в Vбазиса Un отождествляется с группой всех унитарных матриц. Группа [img: http://localhost:8080/file/052106-94.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052106-95.jpg] в этом случае наз. специальной унитарной группой и обозначается через SUn.