Униформизация

множества [img: http://localhost:8080/file/052107-78.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/052107-79.jpg] - тройка (f, D, G), где f=(f1,..., fN) - система мероморфных в области [img: http://localhost:8080/file/052107-80.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/052107-81.jpg] функций, определяющая голоморфное накрытие [img: http://localhost:8080/file/052107-82.jpg] причем f(D0) плотно в A,a G - собственно разрывная группа биголоморфных автоморфизмов D, ограничение к-рой на D0 служит группой накрывающих гомеоморфизмов этого накрытия, т. е. D0/Gбиголоморфно эквивалентно f(D0). Можно говорить также об У. многозначных аналитических функций [img: http://localhost:8080/file/052107-83.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052107-84.jpg] понимая под этим У. множества A={(z, w)};это соответствует параметризации Fс помощью однозначных мероморфных функций. Напр., комплексная кривая z2+w2=l в [img: http://localhost:8080/file/052107-85.jpg] униформизируется тройкой [img: http://localhost:8080/file/052107-86.jpg] где z=cos t, w=sin t, G - группа сдвигов [img: http://localhost:8080/file/052107-87.jpg] или тройкой ((z, w), D, G), где [img: http://localhost:8080/file/052107-88.jpg] G - тривиальная группа. Менее тривиальный пример дает кубическая кривая w2=a0z3+a1z2+a2z+a3, к-рая не допускает рациональной параметризации, но может быть униформизирована с помощью эллиптических функций, а именно тройкой ((f1, f2), D, G), где f1 и f2 - рациональные функции от [img: http://localhost:8080/file/052107-89.jpg] -функции Вейерштрасса [img: http://localhost:8080/file/052107-90.jpg] и ее производной с соответствующими периодами [img: http://localhost:8080/file/052107-91.jpg] а G - группа, порожденная сдвигами [img: http://localhost:8080/file/052107-92.jpg] Проблема У. произвольной алгебраич. кривой, определяемой общим алгебраич. уравнением [img: http://localhost:8080/file/052107-93.jpg] где Р- неприводимый алгебраич. многочлен над С, возникла еще в 1-й пол. 19 в., в частности в связи с интегрированием алгебраич. функций. А. Пуанкаре (Н. Poincare) поставил вопрос об У. множества решений произвольных аналитич. равнений вида (*), когда Р - сходящийся степенной ряд от двух переменных, рассматриваемый с его всевозможными аналитич. родолжениями. У. алгебраич. и произвольных аналитич. многообразий составляет содержание двадцать второй проблемы Гильберта. Полного решения проблемы У. тюка (к 1984) не получено, за исключением одномерного случая. Введя во множестве пар (z, w) в [img: http://localhost:8080/file/052107-94.jpg] удовлетворяющих (*), комплексную структуру с помощью элементов соответствующей алгебраич. функции w(z) (или z(w)), получают компактную риманову поверхность, при этом координаты точек кривой (*) будут мероморфными функциями на этой поверхности. Более того, все компактные римановы поверхности с точностью до конформной эквивалентности получаются таким образом. Поэтому проблема У. алгебраич. кривых сводится к проблеме У. римановых поверхностен. У. произвольной римановой поверхности Sназ. I. Пусть S- ориентируемая поверхность, v1,..., vn,...- множество простых попарно не пересекающихся петель на S. Если [img: http://localhost:8080/file/052107-119.jpg] - регулярное накрытие с определяющей подгруппой [img: http://localhost:8080/file/052107-120.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052107-121.jpg] - натуральные числа, то [img: http://localhost:8080/file/052107-122.jpg] - плоская поверхность, т. е. гомеоморфна области в [img: http://localhost:8080/file/052107-123.jpg] II. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052107-124.jpg] - плоская поверхность и [img: http://localhost:8080/file/052107-125.jpg] - регулярное накрытие ориентируемой поверхности Sс определяющей подгруппой N. Если S - поверхность конечного типа, т. е. [img: http://localhost:8080/file/052107-126.jpg] конечно порождена, то существуют конечное множество простых попарно не пересекающихся петель v1,..., vn и такие натуральные числа [img: http://localhost:8080/file/052107-127.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/052107-128.jpg] III. Если [img: http://localhost:8080/file/052107-129.jpg] - плоская риманова поверхность и [img: http://localhost:8080/file/052107-130.jpg] - собственно разрывная группа конформных автоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/052107-131.jpg] то существует конформный гомеоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052107-132.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/052107-133.jpg] есть клейнова группа с инвариантной компонентой D. Таким образом, каждая риманова поверхность униформизируется клейновой группой. Напр., если S - замкнутая риманова поверхность рода [img: http://localhost:8080/file/052107-134.jpg] то ее фундаментальная группа имеет копредставление [img: http://localhost:8080/file/052107-135.jpg] и в качестве определяющей плоское накрытие [img: http://localhost:8080/file/052107-136.jpg] нормальной подгруппы Nможно взять наименьшую нормальную подгруппу, порожденную al,..., ag (или b1,..., bg);тогда Sуниформизируется группой Шотки G рода g - свободной чисто локсодромической клейновой группой с gобразующими (классич. теорема Кёбе о разрезах). У. римановых поверхностей конечного типа возможные клейновы группы могут быть классифицированы. Для этого используется понятие факторподгруппы. Если G - клейнова группа с инвариантной компонентой D(G), то ее подгруппа Нназ. факторнодгруппой G, если Н - максимальная подгруппа, для к-рой: а) ее инвариантная компонента [img: http://localhost:8080/file/052107-137.jpg] односвязна; b) Hне содержит случайных параболических элементов g(т. е. таких параболич. элементов, что при конформном изоморфизме [img: http://localhost:8080/file/052107-138.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052107-139.jpg] образ [img: http://localhost:8080/file/052107-140.jpg] будет гиперболическим); с) каждый параболический элемент Gс неподвижной точкой на предельном множестве Нпринадлежит H. Напр., в теореме Клейна - Пуанкаре каждая факторподгруппа G совпадает с самой G, а в теореме Кебе о разрезах все факторподгрупиы G тривиальны. У. [img: http://localhost:8080/file/052107-141.jpg] римановой поверхности S, где D- инвариантная компонента G, наз. стандартной, если G не имеет кручения и не содержит случайных параболич. элементов. Для замкнутых поверхностей все такие У. описываются следующей теоремой (см. [6]). Пусть S- замкнутая риманова поверхность рода g>0 и {vl,..., vn} - множество простых попарно не пересекающихся петель на S. Тогда существует единственная с точностью до конформной эквивалентности стандартная У. [img: http://localhost:8080/file/052107-142.jpg] поверхности S такая, что каждая факторподгруппа G является либо фуксовой, либо элементарной и накрытие [img: http://localhost:8080/file/052107-143.jpg] построено по наименьшей нормальной подгруппе [img: http://localhost:8080/file/052107-144.jpg] натянутой на петли v1,..., v п. Теория квазиконформных отображений и Тайхмюллера пространств позволила доказать возможность одновременной У. нескольких римановых поверхностей одной клейновой группой, а также всех римановых поверхностей данного типа (см. [7]).