Уолла группа

абелева группа, к-рая сопоставляется кольцу с инволюцией, являющейся антиизоморфизмом. В частности, она определена для группового кольца [img: http://localhost:8080/file/052108-1.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052108-2.jpg] - фундаментальная группа пространства. Если X - Пуанкаре комплекс, то в этой группе определяются препятствия к существованию простой гомотонич. эквивалентности в классе бордизмов из [img: http://localhost:8080/file/052108-3.jpg] Это препятствие наз. Уолла инвариантом, см. [1]. Пусть R - кольцо с инволюцией: [img: http://localhost:8080/file/052108-4.jpg] являющейся антиизоморфизмом, т. е. [img: http://localhost:8080/file/052108-5.jpg] Если Р - левый R-модуль, то HomR (P, R) является левым R-модулем относительно действия [img: http://localhost:8080/file/052108-6.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-7.jpg] Этот модуль обозначается через Р*. Для конечнопорожденного проективного R-модуля Римеется изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052108-8.jpg] и можно отождествить Ри Р** по этому изоморфизму. Квадратичной (-1)k -формой над кольцом с инволюцией R наз. пара [img: http://localhost:8080/file/052108-9.jpg] где Р - конечнопорожденный проективный R-модуль, а [img: http://localhost:8080/file/052108-10.jpg] - такой гомоморфизм, что [img: http://localhost:8080/file/052108-11.jpg] Морфизмом форм [img: http://localhost:8080/file/052108-12.jpg] наз. гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/052108-13.jpg] для к-рого [img: http://localhost:8080/file/052108-14.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052108-15.jpg] - изоморфизм, то форма [img: http://localhost:8080/file/052108-16.jpg] наз. невырожденной. Лагранжевой плоскостью невырожденной формы наз. прямое слагаемое [img: http://localhost:8080/file/052108-17.jpg] для к-рого [img: http://localhost:8080/file/052108-18.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052108-19.jpg] - прямое слагаемое, и [img: http://localhost:8080/file/052108-20.jpg] то Lназ. сублагранжевой плоскостью. Лагранжевы плоскости L, G формы [img: http://localhost:8080/file/052108-21.jpg] наз. дополнительными, если L+G=P и [img: http://localhost:8080/file/052108-22.jpg] Пусть L - проективный R-модуль. Невырожденная (-1)k -форма [img: http://localhost:8080/file/052108-23.jpg] наз. гамильтоновой, а [img: http://localhost:8080/file/052108-24.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052108-25.jpg] - ее дополнительными лагранжевыми плоскостями. Если L - лагранжева плоскость формы [img: http://localhost:8080/file/052108-26.jpg] то она изоморфна гамильтоновой форме [img: http://localhost:8080/file/052108-27.jpg] Выбор дополнительной к Lлагранжевой плоскости равносилен выбору изоморфизма [img: http://localhost:8080/file/052108-28.jpg] при к-ром эта дополнительная плоскость отождествляется с L*. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052108-29.jpg] - абелева группа, порожденная классами эквивалентности (при изоморфизме) невырожденных квадратичных (-1)k -форм [img: http://localhost:8080/file/052108-30.jpg] с соотношениями: 1) [img: http://localhost:8080/file/052108-31.jpg] 2) [img: http://localhost:8080/file/052108-32.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-33.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/052108-34.jpg] имеет лагранжеву плоскость. Тройка (Н; F, L), состоящая из невырожденной (-1)k -формы Ни пары лагранжевых плоскостей F, L, наз. (-1)k -формацией. Формация наз. тривиальной, если Fи Lдополнительны, и элементарной, если существует лагранжева плоскость формы Н, дополнительная и к F, и к L. Тривиальная формация [img: http://localhost:8080/file/052108-35.jpg] G, G)наз. гамильтоновой. Изоморфизмом формаций [img: http://localhost:8080/file/052108-36.jpg] наз. изоморфизм форм [img: http://localhost:8080/file/052108-37.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052108-38.jpg] для к-рого f(F) = Fl, f(L) = L1. Всякая тривиальная формация изоморфна гамильтоновой. Пусть U2k+1(R)- абелева группа, порожденная классами эквивалентности (при изоморфизме) (-1)k -формаций, со следующими соотношениями: 1) [img: http://localhost:8080/file/052108-39.jpg] 2) [img: http://localhost:8080/file/052108-40.jpg] если формация элементарна или тривиальна. Группы Un(R)и наз. группами Уолла кольца R.