Упорядоченное поле

- линейно упорядоченное кольцо, являющееся полем. Классич. пример - поле действительных чисел с обычным порядком. Напротив, поле комплексных чисел не может быть превращено в У. п., поскольку поле допускает порядок, превращающий его в У. п., тогда и только тогда, когда -1 не представима в нем как сумма квадратов. Такие поля наз. формально действительными; они возникают, напр., если к какому-либо У. п. присоединить все квадратные корни из всех его положительных элементов. Расширение РУ. п. kназ. упорядоченным, если Р - У. п., содержащее kв качестве упорядоченного подполя. Это имеет место в том и только в том случае, когда -1 не представима в виде суммы элементов вида [img: http://localhost:8080/file/052109-3.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052109-4.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052109-5.jpg] У. п. наз. действительно замкнутым, если оно не обладает отличными от себя самого упорядоченными расширениями. Порядок действительно замкнутого поля единствен. Эквивалентны следующие свойства У. п. k:(1) kдействительно замкнуто; (2) расширение k(i), где i2=-1, алгебраически замкнуто; (3) каждый положит. элемент из kявляется квадратом ц каждый многочлен нечетной степени над kимеет корень в k. Каждое формально действительное поле обладает действительно замкнутым упорядоченным алгебраич. расширением. Если k - У. п., то имеет смысл обычное определение фундаментальной последовательности (см. Действительное число). Совокупность фундаментальных последовательностей при надлежащем отождествлении и определении операций превращается в упорядоченное расширение [img: http://localhost:8080/file/052109-6.jpg] поля k. Если kархимедово, то [img: http://localhost:8080/file/052109-7.jpg] изоморфно У. п. действительных чисел.