Условная устойчивость

точки относительно семейства отображений [img: http://localhost:8080/file/052111-164.jpg] - равностепенная непрерывность в этой точке семейства [img: http://localhost:8080/file/052111-165.jpg] сужений отображений f t на нек-рое вложенное в Емногообразие V;здесь G+ - множество неотрицательных чисел: действительных [img: http://localhost:8080/file/052111-166.jpg] или целых [img: http://localhost:8080/file/052111-167.jpg] У. у. точки относительно отображения определяется как ее У. у. относительно семейства неотрицательных степеней этого отображения. У. у. точки относительно динамич. системы f t есть У. у. этой точки относительно семейства отображений [img: http://localhost:8080/file/052111-168.jpg] У. у. заданного на [img: http://localhost:8080/file/052111-169.jpg] решения [img: http://localhost:8080/file/052111-170.jpg] уравнения [img: http://localhost:8080/file/052111-171.jpg] есть У. у. точки x0(t0) относительно семейства отображений [img: http://localhost:8080/file/052111-172.jpg] У. у. заданного на [img: http://localhost:8080/file/052111-173.jpg] решения [img: http://localhost:8080/file/052111-174.jpg] дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/052111-175.jpg] есть У. у. точки х 0(t0) относительно семейства отображении [img: http://localhost:8080/file/052111-176.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052111-177.jpg] -Коши оператор этого уравнения. У. у. заданного на [img: http://localhost:8080/file/052111-178.jpg] решения [img: http://localhost:8080/file/052111-179.jpg] дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/052111-180.jpg] порядка mесть У. у. заданного на [img: http://localhost:8080/file/052111-181.jpg] решения [img: http://localhost:8080/file/052111-182.jpg] соответствующего дифференциального уравнения 1-го порядка вида (2), где x= (x1,.... х т), f(x, t) = (x2,.....x т, g(x1,..., xm, t)). Приведенные ниже определения 1-5 являются нек-рыми конкретизациями этих и родственных им определений. 1. Пусть дано дифференциальное уравнение (2), где [img: http://localhost:8080/file/052111-183.jpg] Е - нормированное n-мерное пространство. Решение [img: http://localhost:8080/file/052111-184.jpg] этого уравнения наз. условно устойчивым с индексoм [img: http://localhost:8080/file/052111-185.jpg] если найдется вложенный в Е k -мерный диск Dk (рассматриваемый как многообразие нок-poгo класса С m),содержащий точку x0(t0)и обладающий свойством: для всякого [img: http://localhost:8080/file/052111-186.jpg] найдется [img: http://localhost:8080/file/052111-187.jpg] такое, что для всякого [img: http://localhost:8080/file/052111-188.jpg] удовлетворяющего неравенству [img: http://localhost:8080/file/052111-189.jpg] решение [img: http://localhost:8080/file/052111-190.jpg] того же уравнения, удовлетворяющее начальному условию x(t0)=-x, единственно, определено на [img: http://localhost:8080/file/052111-191.jpg] и при всяком [img: http://localhost:8080/file/052111-192.jpg] удовлетворяет неравенству [img: http://localhost:8080/file/052111-193.jpg] Если диск Dk,имеющий указанные свойства, может быть выбран так, что [img: http://localhost:8080/file/052111-194.jpg] (соответственно, [img: http://localhost:8080/file/052111-195.jpg] здесь и далее считается, что [img: http://localhost:8080/file/052111-196.jpg] для всякого решения того же уравнения, начинающегося в этом диске (т. е. такого, что [img: http://localhost:8080/file/052111-197.jpg] то решение x0(t)наз. асимптотически (соответственно, экспонeнциально) условно устойчивым (с индексом k). Решение уравнения (2) [img: http://localhost:8080/file/052111-198.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/052111-199.jpg] наз. условно (асимптотически, экспоненциально условно) устойчивым с индексом k, если оно становится таковым в результате наделения пространства [img: http://localhost:8080/file/052111-200.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/052111-201.jpg] нек-рой нормой. От выбора нормы это свойство решения не зависит. 2. Пусть дано n-мерное риманово многообразие Vn (расстояние в к-ром обозначается через [img: http://localhost:8080/file/052111-202.jpg] Точка [img: http://localhost:8080/file/052111-203.jpg] наз. условно устойчивой (с индексом [img: http://localhost:8080/file/052112-1.jpg] относительно отображения [img: http://localhost:8080/file/052112-2.jpg] если найдется вложенный (обычно гладко вложенный) в. Vn k -мерный диск Dk, содержащий точку x0 и обладающий свойством: для всякого [img: http://localhost:8080/file/052112-3.jpg] найдется [img: http://localhost:8080/file/052112-4.jpg] такое, что для всякого [img: http://localhost:8080/file/052112-5.jpg] удовлетворяющего неравенству [img: http://localhost:8080/file/052112-6.jpg] имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/052112-7.jpg] для всякого [img: http://localhost:8080/file/052112-8.jpg] Если диск Dk, имеющий указанные свойства, может быть выбран так, что [img: http://localhost:8080/file/052112-9.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052112-10.jpg] (соответственно, [img: http://localhost:8080/file/052112-11.jpg] для всякого [img: http://localhost:8080/file/052112-12.jpg] то точка х 0 наз. асимптотически (соответственно, экспоненциально) условно устойчивой (с индексом k)относительно отображения f. Пусть Vn - компактное дифференцируемое многообразие. Точка [img: http://localhost:8080/file/052112-13.jpg] наз. условно устойчивой (асимптотически, экспонeнциально условно устойчивой) с индексом kотносительно отображения [img: http://localhost:8080/file/052112-14.jpg] если она становится таковой в результате наделения Vn нек-рой римановой метрикой. От выбора римановой метрики на Vn это свойство точки x0 не зависит. 3. Пусть дано дифференциальное уравнение (2) на римановом (или на финслеровом) n-мерном многообразии Vn. расстояние в к-ром обозначается [img: http://localhost:8080/file/052112-15.jpg] Решение [img: http://localhost:8080/file/052112-16.jpg] этого уравнения наз. условно устойчивым (с индексом k), если найдется k-мерный диск Dk, вложенный в Vn (рассматриваемый как многообразие нек-рого класса С т, обычно [img: http://localhost:8080/file/052112-17.jpg] содержащий точку х 0(t0)и обладающий свойством: для всякого [img: http://localhost:8080/file/052112-18.jpg] найдется [img: http://localhost:8080/file/052112-19.jpg] такое, что для всякого [img: http://localhost:8080/file/052112-20.jpg] удовлетворяющего неравенству [img: http://localhost:8080/file/052112-21.jpg] решение [img: http://localhost:8080/file/052112-22.jpg] того же уравнения, удовлетворяющее начальному условию х(t0)=x, единственно, определено на [img: http://localhost:8080/file/052112-23.jpg] я при всяком [img: http://localhost:8080/file/052112-24.jpg] удовлетворяет неравенству [img: http://localhost:8080/file/052112-25.jpg] Если диск Dk, имеющий указанные свойства, может быть выбран так, что [img: http://localhost:8080/file/052112-26.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052112-27.jpg] (соответственно, [img: http://localhost:8080/file/052112-28.jpg] для всякого решения [img: http://localhost:8080/file/052112-29.jpg] этого же уравнения, начинающегося в этом диске (т. е. такого, что [img: http://localhost:8080/file/052112-30.jpg] то решение [img: http://localhost:8080/file/052112-31.jpg] наз. асимптотически (соответственно, экспоненциально) условно устойчивым (с индексом k). 4. Пусть Vn есть n-мерное многообразие класса С т, U- открытое множество в нем. Пусть точка [img: http://localhost:8080/file/052112-32.jpg] неподвижна при отображениях [img: http://localhost:8080/file/052112-33.jpg] класса [img: http://localhost:8080/file/052112-34.jpg] где Gесть [img: http://localhost:8080/file/052112-35.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/052112-36.jpg] Неподвижная точка х 0 наз. условно устойчивой (с индексом k)относительно семейства отображений [img: http://localhost:8080/file/052112-37.jpg] если найдется k-мерный диск Dk, гладко вложенной (вложение класса С т)в Vn и такой, что для всякой окрестности [img: http://localhost:8080/file/052112-38.jpg] точки х 0 найдется окрестность Wтой же точки такая, что [img: http://localhost:8080/file/052112-39.jpg] при всяком [img: http://localhost:8080/file/052112-40.jpg] Если диск Dk, имеющий указанные свойства, может быть выбран так, что [img: http://localhost:8080/file/052112-41.jpg] для всякого [img: http://localhost:8080/file/052112-42.jpg] то неподвижная точка x0 наз. асимптотически условно устойчивой (с индексом k)относительно семейства отображений [img: http://localhost:8080/file/052112-43.jpg] 5. Условная (условная асимптотическая, условная экспоненциальная) устойчивость (с индексом k) решения [img: http://localhost:8080/file/052112-44.jpg] уравнения произвольного порядка [img: http://localhost:8080/file/052112-45.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052112-46.jpg] определяется как условная (условная асимптотическая, экспоненциальная) устойчивость (с индексом k) решения [img: http://localhost:8080/file/052112-47.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052112-48.jpg] соответствующего уравнения 1 то порядка (2), где [img: http://localhost:8080/file/052112-49.jpg] Иногда (см., напр., [3]) в определении У. у. требуют, чтобы индекс k был отличен от нуля: У. у. с индексом нуль всегда имеет место. У. у. (условная асимптотическая, условная экспоненциальная устойчивость) с индексом n(размерность фазового пространства) есть то же, что устойчивость по Ляпунову (соответственно, асимптотическая, экспоненциальная). Исследование положения равновесия на У. у. Пусть и окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/052112-50.jpg] задано автономное дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/052112-51.jpg] правая часть к-рого непрерывно дифференцируема и в точке x0 обращается в нуль. Если в открытой левой комплексной полуплоскости лежат kсобственных значений производной dfxo,то неподвижная точка уравнения (3) экспоненциально условно устойчива с индексом k(теорема Ляпунова об условной устойчивости). Напр., верхнее положение равновесия [img: http://localhost:8080/file/052112-52.jpg] уравнения колебаний маятника [img: http://localhost:8080/file/052112-53.jpg] экспоненциально условно устойчиво с индексом 1, так как один из корней характеристического уравнения [img: http://localhost:8080/file/052112-54.jpg] уравнения в вариациях [img: http://localhost:8080/file/052112-55.jpg] отрицателен. Неподвижная точка x0 дифференцируемого отображения [img: http://localhost:8080/file/052112-56.jpg] экспоненциально условно устойчива с индексом kотносительно f, если kсобственных значений производной dfx0 лежат в открытом единичном круге. Периодич. точка x0 дифференцируемого отображения [img: http://localhost:8080/file/052112-57.jpg] имеющая период т, условно (асимптотически условно, экспоненциально условно) устойчива с индексом kотносительно, f тогда и только тогда, когда она обладает этим свойством относительно отображения f т. Периодич. решение автономного дифференциального уравнения (3) с гладкой правой частью f(x), имеющее период Т, (асимптотически, экспоненциально) условно устойчиво с индексом k в том и только в том случае, если его значение в точке t=0 (соответственно, асимптотически, экспоненциально) условно устойчиво с индексом k относительно отображения Х(Т,0), где [img: http://localhost:8080/file/052112-58.jpg] - оператор Коши уравнения (3). Пример Перрона (см. Устойчивость по Ляпунову)показывает, что из отрицательности kпоказателей Ляпунова уравнения в вариациях вдоль решения уравнения (3) не следует У. у. с индексом kэтого решения. Однако имеют место следующие теоремы, показывающие, что ситуация, описываемая примером Перрона, нетипична. 1) Пусть S - множество всех диффеоморфизмов f евклидова пространства Е n, имеющих равномерно непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству [img: http://localhost:8080/file/052112-59.jpg] Для всякого диффеоморфизма [img: http://localhost:8080/file/052112-60.jpg] через Sj обозначается множество диффеоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/052112-61.jpg] удовлетворяющих неравенству [img: http://localhost:8080/file/052112-62.jpg] в множестве Sj задается расстояние [img: http://localhost:8080/file/052112-63.jpg] При всяком [img: http://localhost:8080/file/052112-64.jpg] впространстве [img: http://localhost:8080/file/052112-65.jpg] имеется всюду плотное множество Dj типа [img: http://localhost:8080/file/052112-66.jpg] обладающее свойством: для всякого [img: http://localhost:8080/file/052112-67.jpg] точка хусловно экспоненциально устойчива относительно диффеоморфизма f с индексом [img: http://localhost:8080/file/052112-68.jpg] т. е. с индексом, равным числу отрицательных Ляпунова характеристических показателей уравнения в вариациях. 2) Для динамич. систем, заданных на замкнутом дифференцируемом многообразии, аналогичная теорема формулируется проще и является дифференциально-топологически инвариантной. Пусть Г n -замкнутое дифференцируемое многообразие. Множество. Sвсех диффеоморфизмов f класса С 1, отображающих Vn на Vn, наделяется С 1 -топологией. В пространстве [img: http://localhost:8080/file/052112-69.jpg] имеется всюду плотное множество Dтипа Gd, обладающее свойством: для всякого [img: http://localhost:8080/file/052112-70.jpg] точка хусловно экспоненциально устойчива относительно диффеоморфизма f с индексом [img: http://localhost:8080/file/052112-71.jpg] 3) Для всякого диффеоморфизма [img: http://localhost:8080/file/052112-72.jpg] замкнутого дифференцируемого многообразия Vn для всякого инвариантного относительно f распределения вероятностей на Vn [img: http://localhost:8080/file/052112-73.jpg] -алгебра к-рого содержит все борелевские множества) множество точек [img: http://localhost:8080/file/052112-74.jpg] условно экспоненциально устойчивых с индексом (4) относительно диффеоморфизма f, имеет вероятность 1.