Условный экстремум

- минимальное или максимальное значение, достигаемое данной функцией (или функционалом) при условии, что нек-рые другие функции (функционалы) принимают значения из заданного допустимого множества. Если условия, ограничивающие в указанном смысле область изменения независимых переменных (функций), отсутствуют, то говорят о безусловном экстремуме. Классич. задачей на У. э. является задача определения минимума функции многих переменных [img: http://localhost:8080/file/052112-154.jpg] при условии, что нек-рые другие функции принимают заданные значения: [img: http://localhost:8080/file/052112-155.jpg] В этой задаче множество G, к-рому должны принадлежать значения вектор-функции g=(g1,...,gm), входящей в дополнительные условия (2), есть фиксированная точка c=(c1,..., с т)в m-мерном евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/052112-156.jpg] Если в (2) наряду со знаком равенства допускаются знаки неравенства [img: http://localhost:8080/file/052112-157.jpg] то это приводит к задаче нелинейного программирования(1), (3). В задаче (1), (3) множество Gдопустимых значений вектор-функции gпредставляет собой нек-рый криволинейный многогранник, принадлежащий (n-m1)-мерной гиперповерхности, задаваемой т 1, m1<n, условиями типа равенства (3). Границы указанного криволинейного многогранника строятся с учетом п-m1 неравенств, входящих в (3). Частным случаем задачи (1), (3) на У. в. является задача линейного программирования, в к-рой все рассматриваемые функции f и gi являются линейными по xl,..., х п. В задаче линейного программирования множество Gдопустимых значений вектор-функции g, входящей в условия, ограничивающие область изменения переменных x1,.....xn, представляет собой выпуклый многогранник, принадлежащий (п-т 1)-мерной гиперплоскости, задаваемой m1 условиями типа равенства в (3). Аналогичным образом большинство задач оптимизации функционалов, представляющих нрактич. интерес, сводится к задачам на У. э. (см. Изопериметрическая задача, Кольца задача, Лагранжа задача, Манера задача). Так же, как и в математич. программировании, основными задачами вариационного исчисления и теории оптимального управления являются задачи на У. э. При решении задач на У. э., особенно при рассмотрении теоретич. вопросов, связанных с задачами на У. э., весьма полезным оказывается использование неопределенных Лагранжа множителей, позволяющих свести задачу на У. э. к задаче на безусловный экстремум и упростить вывод необходимых условий оптимальности. Использование множителей Лагранжа лежит в основе большинства классич. методов решения задач на У. э.