Устойчивое распределение

распределение вероятностей, обладающих свойством, что для любых a1>0, b1, a2>0, b2 имеет место соотношение [img: http://localhost:8080/file/052112-165.jpg] где a>0 и b - нек-рые постоянные, F - функция распределения У. р., * - символ операции свертки двух функций распределения. Характеристическая функция У. р. [img: http://localhost:8080/file/052112-166.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052112-167.jpg] d - любое действительное число, и [img: http://localhost:8080/file/052112-168.jpg] Число [img: http://localhost:8080/file/052112-169.jpg] наз. показателем устойчивого распределения. У. р. с показателем [img: http://localhost:8080/file/052112-170.jpg] является нормальное распределение, примером У. р. с показателем [img: http://localhost:8080/file/052112-171.jpg] служит Коши распределение, У. р. является вырожденное распределение на прямой, У. р.- безгранично делимое распределение, и У. р. с показателем [img: http://localhost:8080/file/052112-172.jpg] имеет Леви каноническое представление схарактеристиками [img: http://localhost:8080/file/052112-173.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052112-174.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052112-175.jpg] - любое действительное число. Для У. р., за исключением вырожденного распределения, существуют плотности. Эти плотности бесконечно дифференцируемы, одновершинны и отличны от нуля или на всей прямой, или на полупрямой. Для У. р. с показателем [img: http://localhost:8080/file/052112-176.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052112-177.jpg] выполняются соотношения [img: http://localhost:8080/file/052112-178.jpg] р(х) - плотность У. р. Явный вид плотностей У. р. известен лишь в немногих случаях. Одной из основных задач теории У. р. является описание их притяжения областей. В совокупности У. р. выделяется класс строго устойчивых распределений, для к-рых имеет место равенство (1) при b1=b2=b=0. Характеристич. функции строго У. р: с показателем [img: http://localhost:8080/file/052112-179.jpg] даются формулой (2) при d=0. При [img: http://localhost:8080/file/052112-180.jpg] строго У. р. является лишь распределение Копти. Спектрально положительные (отрицательные) У. р. характеризуются тем, что в канонич. представлении Леви [img: http://localhost:8080/file/052112-181.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052112-182.jpg] Для спектрально положительных У. р. существует преобразование Лапласа при [img: http://localhost:8080/file/052112-183.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052112-184.jpg] где р(х)-плотность спектрально положительного У. р. с показателем [img: http://localhost:8080/file/052112-185.jpg] -действительное число, у многозначных функции [img: http://localhost:8080/file/052112-186.jpg] выбираются те ветви, для к-рых In s действительный, а [img: http://localhost:8080/file/052112-187.jpg] при s > 0. У. р., как безгранично делимому распределению, соответствует однородный случайный процесс с независимыми приращениями. Стохастически непрерывный однородный случайный процесс с независимыми приращениями [img: http://localhost:8080/file/052112-188.jpg] наз. устоичивым, если приращение x(1)-х(0)имеет У. р.