Устойчивость по части переменных

- устойчивость в смысле Ляпунова решения х=0по отношению не ко всем, а лишь к нек-рым переменным x1,.... xk, k< п, системы обыкновенных дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/052114-174.jpg] Здесь Xs(t, x)- данные действительные непрерывные функции, удовлетворяющие в области [img: http://localhost:8080/file/052114-175.jpg] условиям существования и единственности решения x(t; t0, х 0), причем Xs(t, 0)=0, s = l,..., n, и любое решение определено для всех [img: http://localhost:8080/file/052114-176.jpg] при к-рых [img: http://localhost:8080/file/052114-177.jpg] Пусть xi = yi при i =1,..., k; xk+j = zj при j =1,......, т, n = k+m и [img: http://localhost:8080/file/052114-178.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052114-179.jpg] Решение х=0системы (1) наз.: а) устойчивым по отношению к x1,..., х k, или y-устойчивым, если [img: http://localhost:8080/file/052114-180.jpg] т. e. при всяких произвольно задаваемых числах [img: http://localhost:8080/file/052114-181.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052114-182.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052114-183.jpg] найдется число [img: http://localhost:8080/file/052114-184.jpg] такое, что при всяких возмущениях x0, удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/052114-185.jpg] и при всяком t>t0 для решении x(t; t0, х 0) выполняется условие [img: http://localhost:8080/file/052114-186.jpg] б) y-нeустоичивым в противном случаи, т. е. если [img: http://localhost:8080/file/052114-187.jpg] в) у- устойчивым равномерно по t0, если в определении а) для каждого [img: http://localhost:8080/file/052114-188.jpg] число [img: http://localhost:8080/file/052114-189.jpg] можно выбрать не зависящим от t0; г) асимптотически у- устойчивым, если оно y-устойчиво и для каждого [img: http://localhost:8080/file/052114-190.jpg] существует число [img: http://localhost:8080/file/052114-191.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/052114-192.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/052114-193.jpg] J+ -максимальный правый интервал, где х(t; t0, x0) определено, [img: http://localhost:8080/file/052114-194.jpg] в случае г), кроме указанных выше условий, предполагается, что все решения системы (1) существуют на [img: http://localhost:8080/file/052114-195.jpg] Постановка задачи об У. по ч. н. дана Л. М. Ляпуновым [1] как обобщение задачи устойчивости по всем переменным (k=n). При решении этой задачи особенно эффективным оказался метод Ляпунова функции, модифицированный (см. [2]) применительно к задачам y-устойчивости. В основе метода лежит ряд теорем, обобщающих классич. теоремы Ляпунова. Пусть рассматриваются действительные однозначные функции [img: http://localhost:8080/file/052114-196.jpg] а также их полные производные по времени в силу (1): [img: http://localhost:8080/file/052114-197.jpg] Знакопостоянная функция V(t, х)наз. у-знакоопределенной, если существует положительно-определенная функция W(y)такая, что в области (2) [img: http://localhost:8080/file/052114-198.jpg] Ограниченная функция V(t, х)допускает бесконечно малый высший предел по х 1,..., x р, если для всякого числа l>0 найдется [img: http://localhost:8080/file/052114-199.jpg] такое, что |V(t,x)|<l при [img: http://localhost:8080/file/052114-200.jpg] Теорема 1. Если система (1) такова, что существует y-положительно-определенная функция V(t, х), производная к-рой [img: http://localhost:8080/file/052114-201.jpg] то решение х=0является y-устойчивым. Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, V допускает бесконечно малый высший предел но х, то решение х=0 системы (1) y-устойчиво равномерно по t0. Теорема 3. Если выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, Vдопускает бесконечно малый высший предел по у, то для любого [img: http://localhost:8080/file/052114-202.jpg] найдется [img: http://localhost:8080/file/052114-203.jpg] такое, что из [img: http://localhost:8080/file/052114-204.jpg] следует справедливость неравенства [img: http://localhost:8080/file/052114-205.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/052114-206.jpg] Теорема 4. Если система (1) такова, что существует y-положительно-определенная функция V, допускающая бесконечно малый высший предел по х 1,...., x р [img: http://localhost:8080/file/052114-207.jpg] производная к-рой V отрицательно-определенная но х 1,..., x р, то решение х=0системы (1) асимптотически y-устойчиво. Для исследования y-неустойчивости успешно применяются теорема о неустойчивости Четаева (см. Четчева функция). а также нек-рые другие теоремы. Установлены условия обратимости ряда теорем об y-устойчивости, напр. обратимость теорем 1, 2, а также теоремы 4 при p=k. Применяются методы дифференциальных неравенств и вектор-функций Ляпунова; установлены теоремы об асимптотической y-устойчивости в целом, но 1-му приближению и т. п. (см. [3]).