Устойчивость при постоянно действующих возмущениях

- свойство решения x0(t), [img: http://localhost:8080/file/052114-208.jpg] начальной задачи [img: http://localhost:8080/file/052114-209.jpg] состоящее в следующем. Для всякого [img: http://localhost:8080/file/052114-210.jpg] найдется [img: http://localhost:8080/file/052114-211.jpg] такое, что для всякой точки y0, удовлетворяющей неравенству [img: http://localhost:8080/file/052114-212.jpg] и всякого отображения g(x, t), удовлетворяющего условиям: а) gи g'x непрерывны на множестве [img: http://localhost:8080/file/052114-213.jpg] б) [img: http://localhost:8080/file/052114-214.jpg] решение y0(t)начальной задачи [img: http://localhost:8080/file/052114-215.jpg] определено при всех [img: http://localhost:8080/file/052114-216.jpg] и удовлетворяет неравенству [img: http://localhost:8080/file/052114-217.jpg] Теорема Боля [1]. Пусть начальная задача (*), имеющая решение [img: http://localhost:8080/file/052115-1.jpg] удовлетворяет условиям: а) f и f'x непрерывны на [img: http://localhost:8080/file/052115-2.jpg] при нек-ром [img: http://localhost:8080/file/052115-3.jpg] б) [img: http://localhost:8080/file/052115-4.jpg] в) отображение f дифференцируемо по хв точках (x0(t), t)при [img: http://localhost:8080/file/052115-5.jpg] равномерно относительно [img: http://localhost:8080/file/052115-6.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/052115-7.jpg] Тогда для того чтобы решение этой начальной задачи было устойчиво при постоянно действующих возмущениях, необходимо и достаточно, чтобы верхний особый показатель системы уравнений в вариациях системы [img: http://localhost:8080/file/052115-8.jpg] вдоль решения х 0(t)был меньше нуля. Если f(х, t)не зависит от t(автономная система) и решение x0(t) - периодическое или постоянное, а также если f(x, t)- периодическая по tфункция и решение z0(t) - периодическое с тем же (или с соизмеримым) периодом или постоянное, то: а) указанное в теореме Боля условие равномерной дифференцируемости лишнее (оно вытекает из остальных условий теоремы), б) верхний особый показатель системы уравнений в вариациях системы [img: http://localhost:8080/file/052115-9.jpg] вдоль решения x0(t)вычисляется аффективно.