Устойчивость разностных схем

- одно из важных понятий теории разностных (сеточных) методов, характеризующее непрерывную зависимость решений разностных схем но отношению к входной информации. Точнее, пусть разностная схема (разностный или сеточный аналог исходной задачи) использует множество сеток [img: http://localhost:8080/file/052115-10.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/052115-11.jpg] в пространстве независимых переменных для исходной задачи, где параметр hявляется элементом нек-рого линейного нормированного пространства и характеризует конкретную используемую сетку. Пусть каждой такой сетке [img: http://localhost:8080/file/052115-12.jpg] соответствует Nh -мерное линейное пространство Uh и операторное уравнение в Uh, (система разностных уравнений) [img: http://localhost:8080/file/052115-13.jpg] в к-р. 0, не зависящая от hи такая, что [img: http://localhost:8080/file/052115-18.jpg] Это определение равносильно корректности (1): решение (1) существует ц единственно при любой правой части fh н равномерно (по h) непрерывно зависит от fh в смысле пространств Hh и Fh. Оно же на языке априорных оценок означает наличие константы К. не зависящей от hи такой, что для любого решения (1) имеет место априорная оценка [img: http://localhost:8080/file/052115-19.jpg] Таким образом, если для устойчивой разностной схемы по той или иной причине (напр., в силу приближенного решения (1)) реально отыскивалась не функция и h, из (1), а функция [img: http://localhost:8080/file/052115-20.jpg] из возмущенного уравнения [img: http://localhost:8080/file/052115-21.jpg] то погрешноеть легко оценивается сверху: [img: http://localhost:8080/file/052115-22.jpg] Кроме того, если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную задачу в смысле пространства Fh, то она является и сходящейся с оценкой погрешности [img: http://localhost:8080/file/052115-23.jpg] где zh - погрешность схемы, а [img: http://localhost:8080/file/052115-24.jpg] -погрешность аппроксимации (см. [1], [3], [7]). Приведенная теорема объясняет и причину того, что fh рассматривается как элемент нормированного пространства Fh:от выбора пространства Fh существенно зависит и погрешность аппроксимации. Поэтому при фиксированном пространстве Hh целесообразны теоремы устойчивости типа (3) с использованием наиболее слабых норм [img: http://localhost:8080/file/052115-25.jpg] в к-рых порядок аппроксимации возрастает. При фиксированном же Fh целесообразно изучать устойчивость (1) с использованием наиболее сильных норм В этом отношении имеет место полная аналогия [img: http://localhost:8080/file/052115-26.jpg] с задачей изучения корректности исходной краевой задачи. Поэтому и сами пространства Н h и Fh обычно строятся как сеточные аналоги известных функциональных пространств (напр., [img: http://localhost:8080/file/052115-27.jpg] и т. п., см. [3] - [5]) и допускают соответствующие предельные переходы при [img: http://localhost:8080/file/052115-28.jpg] Примеры выбора таких сеточных пространств, различные приемы изучения У. р. с. в этих пространствах, а также обзор результатов см. [1] - [15]. В проекционно-сеточных методах (методах конечных элементов, проекционно-разностных, вариационно-разностных) для стационарных задач наиболее распространен прием изучения сходимости на основе оценок погрешности через расстояние до аппроксимирующих подпространств (см. [3] - [5], [7], [10], [12], [13]). Тогда теоремы устойчивости типа (3) нужны лишь для получения оценок (4) и изучение последних при Н h и Fh, совпадающих с евклидовым пространством сеточных функций, часто заменяется традиционным алгебраич. подходом, связанным с изучением чисел обусловленности матриц Lh (см. [10] - [12]). В нестационарных задачах роль независимой переменной tсущественно отлична от роли пространственных переменных, и это обстоятельство приводит к отдельному рассмотрению сетки по времени [img: http://localhost:8080/file/052115-29.jpg] и сетки [img: http://localhost:8080/file/052115-30.jpg] - по пространственным переменным x1, x2,..., х d. Оно же определяет и специфику разностных схем для нестационарных задач, связанную с их расслоением (см. [1] - [6]). Для простоты описания будем считать, что [img: http://localhost:8080/file/052115-31.jpg] определяется шагом [img: http://localhost:8080/file/052115-32.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/052115-33.jpg] а сетка [img: http://localhost:8080/file/052115-34.jpg] определяется вектором (h1,h2,..., hd)шагов по пространственным переменным, hr >0, r'=1,2,...,.d. Тогда сетка [img: http://localhost:8080/file/052115-35.jpg] из (1) определяется как [img: http://localhost:8080/file/052115-36.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052115-37.jpg] а пространство Uh состоит из векторов [img: http://localhost:8080/file/052115-38.jpg] где каждое [img: http://localhost:8080/file/052115-39.jpg] принадлежит линейному пространству [img: http://localhost:8080/file/052115-40.jpg] сеточных функций заданных на сетке [img: http://localhost:8080/file/052115-41.jpg] Поэтому нормы в пространствах Hh и Fh, встречающиеся в (2)-(5), обычно определяются через различные нормы || u ||H и || f||F для линейного пространства Uсеточных функций, заданных на сетке [img: http://localhost:8080/file/052115-42.jpg] Напр., в роли || и h ||Hn часто берутся выражения типа [img: http://localhost:8080/file/052115-43.jpg] и т. п. (см. [1]-[6]). Наиболее детально изучен при этом случай, когда Ни F являются евклидовыми или унитарными пространствами и получение оценок типа (3) возможно на основе относительно простых средств. Напр., пусть рассматривается линейная двухслойная разностная схема вида [img: http://localhost:8080/file/052115-44.jpg] где векторы [img: http://localhost:8080/file/052115-45.jpg] и fn+1 определяются начальным условием и правой частью уравнения, а операторы At и А 0 в евклидовом пространстве Нтаковы, что [img: http://localhost:8080/file/052115-46.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052115-47.jpg] где неотрицательные константы С 0 и С 1 не зависят от сетки. Тогда для решения (6) справедлива априорная оценка [img: http://localhost:8080/file/052115-48.jpg] Весьма часто анализ таких схем проводится после записи их в канонич. виде [img: http://localhost:8080/file/052115-49.jpg] на основе изучения свойств оператора перехода [img: http://localhost:8080/file/052115-50.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052115-51.jpg] (Е - тождественный оператор) в предположения, что имеется нек-рая относительно простая информация типа операторных неравенств об операторах Ви Ав евклидовом пространстве Н. Напр., если В=В*>0, А=А* и [img: http://localhost:8080/file/052115-52.jpg] то (см. [3], [6]) существует константа [img: http://localhost:8080/file/052115-54.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/052115-53.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052115-55.jpg] Подобные результаты получены для достаточно широкого круга разностных схем, включая трехслойные и нек-рые многослойные схемы (см. [6]). При этом изучены и нек-рые частные случаи устойчивости (устойчивость по начальным данным, устойчивость по правой части) и их взаимоотношения. Имеются нек-рые результаты, связанные с изучением необходимых условий подобной устойчивости или близких к ним (см. [3], [6]). Использование энергетич. неравенств (см. [4], [5]) вместо (8) позволяет при родственных условиях получить оценку типа [img: http://localhost:8080/file/052115-56.jpg] приводящую к устойчивости в несколько более сильной норме для и h и переходящей в пределе в оценку, часто встречающуюся в теории эволюционных уравнений, Подобные оценки также получены для весьма широкого круга схем (см. [4], [5]. [13]). При изучении У. р. с. выделяют условно устойчивые разностные схемы типа явных схем для уравнения теплопроводности, в к-рых устойчивость имеется лишь при ограничениях типа [img: http://localhost:8080/file/052115-57.jpg] и схемы абсолютно устойчивые, в к-рых шаги по времени и по пространственным переменным могут меняться независимо друг от друга, не нарушая устойчивости. Схемы последнего типа часто являются предпочтительными, если они не требуют решения сложных систем на каждом шаге. К таким экономичным разностным схемам для многомерных задач относятся неявные схемы переменных направлений, схемы расщепления, схемы с расщепляющимся оператором и аддитивные схемы (см. [3] - [6]). Теоремы устойчивости и оценки типа (3), (9) находят применение и а случае, когда погрешность аппроксимации и оценка (5) не рассматриваются, а строятся соответствующие восполнения решений сеточных задач и устанавливается на основе теорем компактности сходимость к решению исходной задачи (см. [4], [5]). Использование различных априорных оценок и упомянутого принципа компактности особенно характерно для сложных нелинейных задач, в к-рых решение может быть и неединственно, а сходимость устанавливается лишь к нек-рому решению исходной задачи. Иногда изучение нелинейных задач математич. физики по причине их сложности вообще заменяется изучением их линеаризацией, а для разностных схем обращается особое внимание на справедливость сеточных аналогов важнейших физич. законов сохранения (см. [8]). Для слабо же нелинейных задач изучение корректности разностных схем часто проводится с достаточной полнотой, характерной для линейного случая (см. [5] - [7] и Нелинейная краевая задача;численные методы решения). В случае задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений изучение устойчивости разностных схем часто сводится в модельных ситуациях к изучению корней характеристич. уравнения (см. [2], [14], [15]).