Факторный анализ

- раздел многомерного статистич. анализа, объединяющий математико-статистич. методы снижения размерности исследуемого многомерного признака x= (x1, х 2,..., x р)', т. е.-построения,- на основе исследования структуры связей между компонентами xixj, i, j=1,2,..., р,- таких моделей, к-рые позволяли бы восстанавливать (с нек-рой случайной ошибкой прогноза [img: http://localhost:8080/file/052202-72.jpg] значения ранализируемых компонент признака хпо существенно меньшему числу [img: http://localhost:8080/file/052202-73.jpg] так наз. общих (непосредственно не наблюдаемых) факторов f=(f1, f2,..., f т)'. Простейшим вариантом формализации подобной постановки задачи служит линейная нормальная модель Ф. а, с взаимно ортогональными общими факторами и с некоррелированными остатками: [img: http://localhost:8080/file/052202-74.jpg] или в матричной записи [img: http://localhost:8080/file/052202-75.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052202-76.jpg] -матрица qкоэффициентов линейного преобразования наз. матрицей нагрузок общих факторов на исследуемые переменные. Предполагается, что вектор специфич. остатков (ошибок прогнозов) подчиняется р-мерному нормальному [img: http://localhost:8080/file/052202-77.jpg] распределению с нулевым вектором средних значений и с неизвестной диагональной ковариационной матрицей [img: http://localhost:8080/file/052202-78.jpg] вектор общих факторов f, в зависимости от специфики решаемой задачи, может интерпретироваться либо как m-мерная случайная величина с ковариационной матрицей Vf специального вида, а именно - с единичной (т. е. Vf=Im), либо как вектор неизвестных неслучайных параметров (взаимно ортогональных и нормированных), значения к-рых меняются от наблюдения к наблюдению. Если предположить, что наши переменные заранее процентрированы (т. е. [img: http://localhost:8080/file/052202-79.jpg] то из (1') с учетом принятых допущений немедленно получается следующее соотношение, связывающее ковариационные матрицы векторов xи [img: http://localhost:8080/file/052202-80.jpg] и матрицу нагрузок: [img: http://localhost:8080/file/052202-81.jpg] При проведении реального статистич. анализа исследователь располагает лишь оценками элементов ковариационной матрицы Vx (полученными по наблюдениям x1, х 2,..., xn), в то время как структурные параметры модели - элементы qki матрицы нагрузок. и дисперсии [img: http://localhost:8080/file/052202-82.jpg] специфич. остатков [img: http://localhost:8080/file/052202-83.jpg] являются неизвестными и подлежат определению. Таким образом, при проведении Ф. 1 ни структурные параметры, ни сами факторы не определяются однозначно; если пара [img: http://localhost:8080/file/052202-84.jpg] является решением в соотношении (2), то и любая другая пара вида [img: http://localhost:8080/file/052202-85.jpg] где с- ортогональная матрица размера [img: http://localhost:8080/file/052202-86.jpg] тоже будет удовлетворять соотношению (2); обычно выясняют, при каких дополнительных априорных ограничениях на матрицу нагрузок qи на ковариационную матрицу остатков [img: http://localhost:8080/file/052202-87.jpg] определение параметров q, f и [img: http://localhost:8080/file/052202-88.jpg] анализируемой модели будет единственным; возможность ортогонального вращения решения факторной модели используется также для получения наиболее естественно интерпретируемого решения; статистич. оценивания (по наблюдениям x1, x2,...,x п) неизвестных структурных параметров модели qи [img: http://localhost:8080/file/052202-89.jpg] статистич. проверки ряда гипотез, связанных с природой модели (линейность, нелинейность и т. п.) и со значениями ее структурных параметров таких, как гипотеза об истинном числе общих факторов, гипотеза адекватности принятой модели по отношению к имеющимся результатам наблюдения, гипотеза о статистически значимом отличии от нуля коэффициентов qij и т. п.; построения статистич. оценок для ненаблюдаемых значений общих факторов f; алгоритмически - вычислительной реализации процедур статистич. оценивания и статистич. проверки гипотез. Разработка теоретически обоснованных решений перечисленных задач в достаточно полной мере осуществлена лишь в рамках описанной выше линейной нормальной модели Ф. а. Однако в практич. применениях широко используются более общие версии моделей Ф. а.: нелинейные, построенные на неколичестненных переменных, оперирующие с трехмерными матрицами исходных данных (к двум традиционным измерениям исходных данных - размерности ри числу наблюдений п,- присоединяется еще одна, пространственная или временная, координата). Подобные модели не сопровождаются, как правило, сколько-нибудь убедительным матема-тико-статистич. анализом их свойств, но основаны на вычислительных рекомендациях эвристич. или полуэвристич. характера.