Фокус

- тип расположения траекторий автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/052207-55.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052207-56.jpg] G - область единственности, в окрестности особой точки х 0. Этот тип характеризуется следующим образом. Существует окрестность Uточки х 0 такая, что для всех траекторий системы, начинающихся в [img: http://localhost:8080/file/052207-57.jpg] отрицательные полутраектории являются уходящими (с течением времени покидают любой компакт [img: http://localhost:8080/file/052207-58.jpg] а положительные полутраектории, не выходя из U, примыкают к точке х 0. наматываясь на нее наподобие логарифмич. спиралей, или наоборот. Ф. наз. при этом и сама точка х 0. Характер приближения траекторий системы к Ф. х 0 можно описать точнее, если ввести на плоскости (х 1, х2) полярные координаты [img: http://localhost:8080/file/052207-59.jpg] с полюсом в х 0. Тогда для любой примыкающей к Ф. х 0 полутраектории [img: http://localhost:8080/file/052207-60.jpg] полярный угол переменной точки [img: http://localhost:8080/file/052207-61.jpg] (левый Ф.) или - [img: http://localhost:8080/file/052207-62.jpg] (правый Ф.) при [img: http://localhost:8080/file/052207-63.jpg] Ф. либо асимптотически устойчив по Ляпунову, либо вполне неустойчив (асимптотически устойчив при t-> [img: http://localhost:8080/file/052207-64.jpg] Его индекс Пуанкаре равен 1. На рис. изображен правый неустойчивый Ф. х 0.(0, 0). [img: http://localhost:8080/file/052207-66.jpg] Для системы (*) класса С 1 [img: http://localhost:8080/file/052207-65.jpg] точка покоя х 0 является Ф. в случае, когда матрица A=f' (х 0) имеет комплексно сопряженные собственные значения с отличной от нуля действительной частью, но может быть Ф. и в тех случаях, когда эта матрица имеет чисто мнимые или кратные действительные собственные значения (см. также Центр, Центра и фокуса проблема). Лит. см. при ст. Особая точка дифференциального уравнения. А. Ф. Андреев.