Фредгольма уравнение

- интегральное уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/052209-84.jpg] - Ф. у. 1-го род а, или вида [img: http://localhost:8080/file/052209-85.jpg] - Ф. у. 2-го рода, если интегральный оператор [img: http://localhost:8080/file/052209-86.jpg] является вполне непрерывным в нек-ром функциональном пространстве Е. Предполагается, что свободный член f и искомая функция [img: http://localhost:8080/file/052209-87.jpg] принадлежат пространству Е. Важным примером Ф. у. является уравнение, в к-ром ядро Кудовлетворяет условию [img: http://localhost:8080/file/052209-88.jpg] а Е=L2([ а, b]). Численный параметр [img: http://localhost:8080/file/052209-89.jpg] и функции [img: http://localhost:8080/file/052209-90.jpg] могут принимать как действительные, так и комплексные значения. О Ф. у. 1-го рода см. Интегральное уравнение с симметричным ядром и Некорректные задачи. Ниже рассматриваются лишь Ф. у. 2-го рода. Метод последовательных приближений решения Ф. у. 2-го рода. Это - первый метод, к-рый был предложен для решения уравнения (1). Для формулировки этого метода пусть уравнение (1) записано в виде [img: http://localhost:8080/file/052209-91.jpg] Предполагается, что ядро Кудовлетворяет условию (3), a E=L2([a, b]).Пусть начальное приближение искомого решения [img: http://localhost:8080/file/052209-92.jpg] если (п-1)-е приближение [img: http://localhost:8080/file/052209-93.jpg] построено, то [img: http://localhost:8080/file/052209-94.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/052209-95.jpg] где К т обозначает т- е итерированное ядро ядра К. Функция (5) является частичной суммой ряда [img: http://localhost:8080/file/052209-96.jpg] к-рый наз. рядом Неймана (или рядом Лиувилля - Неймана). Если [img: http://localhost:8080/file/052209-97.jpg] то ряд (6) сходится в среднем к решению уравнения (1), и это решение - единственное (см., напр., [5]). Если существует такая положительная постоянная А, что [img: http://localhost:8080/file/052209-98.jpg] то ряд (6) сходится абсолютно и равномерно. Вообще говоря, ряд (6) расходится, если [img: http://localhost:8080/file/052209-99.jpg] Именно, это так, если ядро Кимеет характеристич. число. Если же ядро не имеет характеристич. чисел (как, напр., в случае ядра Вольтерра), то ряд (6) сходится при любом значении [img: http://localhost:8080/file/052209-100.jpg] Meтод Фредгольма решения Ф. у. 2-го рода. Метод последовательных приближений дает возможность построить решение уравнения (1), вообще говоря, лишь при малых значениях параметра [img: http://localhost:8080/file/052209-101.jpg] Метод, дающий возможность решить уравнение (1) для любого значения параметра [img: http://localhost:8080/file/052209-102.jpg] был впервые предложен Э. Фредгольмом (Е. Fredholm, 1903). В предположении, что ядро Кнепрерывно на квадрате [ а, b] [img: http://localhost:8080/file/052209-103.jpg] [а, b],а свободный член и искомое решение непрерывны на сегменте [ а, b],ниже кратко описана идея этого метода. Отрезок [ а, b]делится на правных частей длины h=(b-а)/п. Если заменить интеграл в (1) интегральной суммой, то точное уравнение (1) заменяется приближенным [img: http://localhost:8080/file/052209-104.jpg] Полагая в (7) последовательно x = si,..., sn для определения приближенного значения неизвестной функции [img: http://localhost:8080/file/052209-105.jpg] в точках sj, получают линейную алгeбраич. систему [img: http://localhost:8080/file/052209-106.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052209-107.jpg] Разрешимость системы (8) зависит от значения определителя [img: http://localhost:8080/file/052209-108.jpg] к-рый является многочленом относительно [img: http://localhost:8080/file/052209-109.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052209-110.jpg] отличен от корней этого многочлена, то система (8) разрешима. Решив эту систему и подставив полученные значения [img: http://localhost:8080/file/052209-111.jpg] в (7), получают приближенное решение уравнения (1) [img: http://localhost:8080/file/052209-112.jpg] где Qи [img: http://localhost:8080/file/052209-113.jpg] - многочлены относительно [img: http://localhost:8080/file/052209-114.jpg] Приведенный путь является одним из возможных вариантов построения приближенного решения Ф. у. (1) (см. [6]). Можно ожидать, что в пределе, когда [img: http://localhost:8080/file/052209-115.jpg] так, что интегральная сумма в (7) совпадает с интегралом в (1), предел правой части в (9) совпадает с точным решением уравнения (1). С помощью формальных переходов к пределам в соответствующих выражениях Э. Фредгольм установил формулу, к-рая должна представлять решение уравнения (1) [img: http://localhost:8080/file/052209-116.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052209-117.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052209-119.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052209-118.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052209-120.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052209-121.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052209-122.jpg] Для вычисления А т и В т (х, s)вместо формул (14), (15) можно воспользоваться следующими рекуррентными соотношениями: [img: http://localhost:8080/file/052209-123.jpg] Ряды (12) и (13) наз. рядами Фредгольма. Функцию [img: http://localhost:8080/file/052209-124.jpg] наз. определителем Фредгольма ядра К, функцию [img: http://localhost:8080/file/052209-125.jpg] - первым минором Фредгольма для [img: http://localhost:8080/file/052209-126.jpg] а функцию (11) - резольвентой (или разрешающим ядром, или взаимным ядром) ядра К(пли уравнения (1)). Обоснование упомянутых выше предельных переходов, к-рые приводят к формуле (10), было сделано Д. Гильбертом (см. Интегральное уравнение). Э. Фредгольм, построив формально ряды (12), (13), затем непосредственно строго доказал, что они сходятся для всех конечных значений параметра [img: http://localhost:8080/file/052209-127.jpg] а ряд (13), кроме того, сходится равномерно по хи s па квадрате [ а,b] [img: http://localhost:8080/file/052209-128.jpg] [ а, b]. Установление связи между функциями [img: http://localhost:8080/file/052209-129.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052209-130.jpg] позволило ему доказать следующее предложение: если [img: http://localhost:8080/file/052209-131.jpg] то уравнение (1) имеет одно и только одно решение, к-рое выражается формулой (10). Из этого предложения вытекает, что значение параметра [img: http://localhost:8080/file/052209-132.jpg] которое не является корнем определителя Фредгольма, есть регулярное значение для однородного уравнения, соответствующего уравнению (1): [img: http://localhost:8080/file/052209-133.jpg] т. е. это уравнение в рассматриваемом случае имеет лишь нулевое решение. Если [img: http://localhost:8080/file/052209-134.jpg] - корень уравнения [img: http://localhost:8080/file/052209-135.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/052209-136.jpg] есть полюс резольвенты (11) уравнения (10) и характсристич. число этого последнего уравнения. Чтобы построить по методу Фредгольма собственные функции, принадлежащие этому характеристическому числу, вводится понятие р-го минора [img: http://localhost:8080/file/052209-137.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/052209-138.jpg] Тогда р-м минором для [img: http://localhost:8080/file/052209-139.jpg] наз. ряд [img: http://localhost:8080/file/052209-140.jpg] к-рый при р=1 обращается в [img: http://localhost:8080/file/052209-141.jpg] Ряд (16) сходится абсолютно для всех конечных значений [img: http://localhost:8080/file/052209-142.jpg] и равномерно относительно x1,..., х р, s1,..., s р, удовлетворяющих неравенствам [img: http://localhost:8080/file/052209-143.jpg] k = 1,..., р. Пусть теперь [img: http://localhost:8080/file/052209-144.jpg] есть характеристич. число ядра К; [img: http://localhost:8080/file/052209-145.jpg] так как D(0)=1. Пусть r- кратность корня [img: http://localhost:8080/file/052209-146.jpg] уравнения [img: http://localhost:8080/file/052209-147.jpg] Существует такое натуральное число [img: http://localhost:8080/file/052209-148.jpg] что все миноры для [img: http://localhost:8080/file/052209-149.jpg] порядок к-рых меньше q, тождественно равны нулю, а минор порядка qотличен от нуля. Существует нек-рая совокупность значений х'1...., x'q, s'1,..., s'q таких, что [img: http://localhost:8080/file/052209-150.jpg] Число qназ. рангом характеристич. числа [img: http://localhost:8080/file/052209-151.jpg] Функции [img: http://localhost:8080/file/052209-152.jpg] являются линейно независимыми решениями уравнения (10). Пусть характеристич. числу [img: http://localhost:8080/file/052209-153.jpg] принадлежат собственные функции [img: http://localhost:8080/file/052209-154.jpg] Эти функции наз. полной системой собственных функций уравнения (10) (или ядра К),принадлежащих числу [img: http://localhost:8080/file/052209-155.jpg] если любая другая собственная функция, принадлежащая этому числу, есть линейная комбинация функций [img: http://localhost:8080/file/052209-156.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052209-157.jpg] является характеристич. числом однородного уравнения (10) с рангом q, то оно будет также собственным значением с рангом. и для союзного с (10) уравнения [img: http://localhost:8080/file/052209-158.jpg] причем полная система собственных функций уравнения (10) определяется формулами (17), а для уравнения (1'0) - аналогичными формулами, построенными для союзного ядра К(s, х). Если [img: http://localhost:8080/file/052209-159.jpg] - характеристич. число ядра Кс рангом q, то уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда удовлетворяются условия: [img: http://localhost:8080/file/052209-160.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052209-161.jpg] составляют полную систему собственных функций уравнения (10). Если условия (18) выполняются, то все решения уравнения (1) определяются формулой [img: http://localhost:8080/file/052209-162.jpg] где c1,..., cq - произвольные постоянные, [img: http://localhost:8080/file/052209-163.jpg] - полная система собственных функций однородного уравнения (10), а функция Нопределяется равенством [img: http://localhost:8080/file/052209-164.jpg] Непрерывное ядро Кимеет не более счетного множества характеристич. чисел, к-рые могут иметь предельную точку только при [img: http://localhost:8080/file/052209-165.jpg] Сформулированные выше предложения для уравнения (1) называются Фредгольма теоремами. Эти теоремы Э. Фредгольм распространил на случай системы таких же уравнений, а также на случай одного класса ядер со слабой особенностью (см. Интегральный оператор). Из сопоставления теорем Фредгольма вытекает Фредгольма альтернатива. Часто в теоремах Фредгольма вместо союзного уравнения (1'0) рассматривают сопряженное с (1) уравнение [img: http://localhost:8080/file/052209-166.jpg] В этом случае условия (18) заменяются условиями [img: http://localhost:8080/file/052209-167.jpg] Изложенный выше метод Фрeдгольма был обобщен Т. Карлеманом [9] (см. также [7], [11]) на случай, когда [img: http://localhost:8080/file/052209-168.jpg] в уравнении (1) предполагаются интегрируемыми с квадратом функциями. И этих предположениях справедливы сформулированные выше результаты Фредгольма. Кроме метода последовательных приближении и метода Фредгольма для решения Ф. у., Э. Шмидт (Е. Smidt) под влиянием исследовании Д. Гильберта разработал метод, основой к-рого является построение, независимо от теории Фредгольма, теории уравнения (1) с симметричным действительным ядром. Исследования Д. Гильберта и Э. Шмидта подготовили почву для абстрактного изложения теории Фредгольма. Д. Гильберт обратил внимание на то, что теория Фредгольма в основном опирается на свойство т. н. полной непрерывности интегрального преобразования с ядром K. Это свойство Д. Гильберт сформулировал для билинейных форм. Ф. Рисc (см. [8]) показал, что основные результаты теории Фредгольма остаются в силе, если в уравнении (1) интегральный оператор заменить произвольным вполне непрерывным оператором, действующим в полном функциональном пространстве. Исследования Ф. Рисса были пополнены Ю. Шаудером (см. 110]) с помощью введения понятия сопряженного оператора в банаховом пространстве, что и дало возможность окончательной абстрактной формулировки в пространствах Банаха аналогов теорем Фредгольма. Эти теоремы часто наз. теоремами Рисса - Шаудера. Оператор V, участвующий в нижеприведенных формулировках этих теорем, предполагается действующим в банаховом пространстве Е; через Е* обозначено банахово пространство, сопряженное с Е, ачерез V* - сопряженный оператор. Теорема 1. Однородное уравнение [img: http://localhost:8080/file/052209-169.jpg] и сопряженное с ним уравнение [img: http://localhost:8080/file/052209-170.jpg] имеют лишь нулевые решения или одинаковое конечное [img: http://localhost:8080/file/052209-171.jpg] число линейно независимых решений [img: http://localhost:8080/file/052209-172.jpg] Теорема 2. Для разрешимости неоднородного уравнения [img: http://localhost:8080/file/052209-173.jpg] необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/052209-174.jpg] k=1,2,..., q;если эти условия выполнены и [img: http://localhost:8080/file/052209-175.jpg] -какое-либо решение уравнения (21), то его общее решение имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052209-176.jpg] где с k - произвольные постоянные. Теорема 3. Каково бы ни было [img: http://localhost:8080/file/052209-177.jpg] круг [img: http://localhost:8080/file/052209-178.jpg] содержит разве лишь конечное число характеристических значений оператора V, т. е. значений [img: http://localhost:8080/file/052209-179.jpg] для к-рых уравнение [img: http://localhost:8080/file/052209-180.jpg] имеет отличные от нуля решения. Эти теоремы дают возможность обосновать справедливость теорем Фредгольма для уравнения (1) в случае различных конкретных классов интегрального оператора (2). Напр., если заданные и искомая функции интегрируемы с квадратом. В качестве области интегрирования вместо отрезка [a, b]в уравнении (1) можно рассматривать нек-рое ограниченное или неограниченное измеримое множество Dв пространстве любого числа измерений. Вместо обычного интеграла можно брать интеграл Стилтьеса относительно неотрицательной меры.