Фубини теорема

теорема, устанавливающая связь между кратным интегралом и повторным. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052211-159.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052211-160.jpg] -измеримые пространства с [img: http://localhost:8080/file/052211-161.jpg] -конечными полными мерами [img: http://localhost:8080/file/052211-162.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052211-163.jpg] определенными соответственно на [img: http://localhost:8080/file/052211-164.jpg] -алгебрах [img: http://localhost:8080/file/052211-165.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052211-166.jpg] Если функция f(х, у)интегрируема на произведении Xx. пространств Xи Yпо произведению [img: http://localhost:8080/file/052211-167.jpg] мер [img: http://localhost:8080/file/052211-168.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052211-169.jpg] то для почти всех [img: http://localhost:8080/file/052211-170.jpg] функция f(х, у)переменной хинтегрируема на пространстве. по мере [img: http://localhost:8080/file/052211-171.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/052211-172.jpg] интегрируема на пространстве Yпо мере [img: http://localhost:8080/file/052211-174.jpg] и имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/052211-173.jpg] Ф. т. справедлива, в частности, для случая, когда [img: http://localhost:8080/file/052212-1.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052212-2.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052212-3.jpg] - меры Лебега соответственно в евклидовых пространствах [img: http://localhost:8080/file/052212-4.jpg] (ти п- натуральные числа), [img: http://localhost:8080/file/052212-5.jpg] f = f(x, y)-измеримая по Лебегу на пространстве [img: http://localhost:8080/file/052212-6.jpg] функция, [img: http://localhost:8080/file/052212-7.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052212-8.jpg] При этих предположениях формула (1) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052212-9.jpg] Для того чтобы в случае функции f, определенной на произвольном измеримом по Лебегу множестве [img: http://localhost:8080/file/052212-10.jpg] выразить кратный интеграл через повторный, нужно продолжить функцию f нулем на все пространство [img: http://localhost:8080/file/052212-11.jpg] и применить формулу (2). См. также Повторный интеграл. Ф. т. установлена Г. Фубини [1].