Фундаментальная система решений

линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений - базис векторного пространства действительных (комплексных) решений этой системы. (Система может состоять и из одного уравнения.) Более подробно это определение формулируется следующим образом. Множество действительных (комплексных) решений {x1(t),...,xn(t)}(заданных на нек-ром множестве Е)линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений наз. Ф. с. р. этой системы уравнений (на множестве Е) при выполнении совокупности следующих двух условий: 1) если действительные (комплексные) числа С 1,..., С n таковы, что функция C1x1(t)+...+Cnxn(t) тождественно равна нулю на Е, то все числа С 1,..., С n равны нулю; 2) для всякого действительного (комплексного) решения х(t)рассматриваемой системы уравнений найдутся действительные (соответственно комплексные) числа С 1,..., С n (не зависящие от t)такие, что x(t) = C1x1(t)+...+Cnxn(t) при всех [img: http://localhost:8080/file/052212-156.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052212-157.jpg] -произвольная невырожденная [img: http://localhost:8080/file/052212-158.jpg] -матрица, а {x1(t),..., х п(t)}есть Ф. с. р., то [img: http://localhost:8080/file/052212-159.jpg] также есть Ф. с. р.; всякая Ф. [img: http://localhost:8080/file/052212-160.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052212-161.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/052212-162.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/052212-163.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/052212-164.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052212-165.jpg] причем отображение [img: http://localhost:8080/file/052212-166.jpg] суммируемо на каждом отрезке, содержащемся в [img: http://localhost:8080/file/052212-167.jpg] - конечный или бесконечный интервал в [img: http://localhost:8080/file/052212-168.jpg] то векторное пространство решений этой системы изоморфно [img: http://localhost:8080/file/052212-169.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/052212-170.jpg] Следовательно, система (1) имеет бесконечно много Ф. с. р., и каждая такая Ф. с. р. состоит из пре шений. Напр., для системы уравнений [img: http://localhost:8080/file/052213-1.jpg] произвольная Ф. с. р. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052213-2.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052213-3.jpg] -произвольные линейно независимые векторы-столбцы. Всякая Ф. с. р. системы (1) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052213-4.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052213-5.jpg] - Коши оператор системы (1), [img: http://localhost:8080/file/052213-6.jpg] - произвольное фиксированное число из интервала [img: http://localhost:8080/file/052213-7.jpg] а x1,..., х п - произвольный фиксированный базис пространства [img: http://localhost:8080/file/052213-8.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/052213-9.jpg] Если система дифференциальных уравнений состоит из одного уравнения [img: http://localhost:8080/file/052213-10.jpg] где функции [img: http://localhost:8080/file/052213-11.jpg] суммируемы на каждом отрезке, содержащемся в [img: http://localhost:8080/file/052213-12.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/052213-13.jpg] - конечный или бесконечный интервал в [img: http://localhost:8080/file/052213-14.jpg] то векторное пространство решений этого уравнения изоморфно [img: http://localhost:8080/file/052213-15.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/052213-16.jpg] Следовательно, уравнение (2) имеет бесконечно много Ф. с. р., и каждая из них состоит из kрешений. Напр., уравнение [img: http://localhost:8080/file/052213-17.jpg] имеет Ф. с. р. [img: http://localhost:8080/file/052213-18.jpg] общее действительное решение этого уравнения дается формулой [img: http://localhost:8080/file/052213-19.jpg] где C1, С2 - произвольные действительные постоянные. Если система дифференциальных уравнений имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052213-20.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052213-21.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/052213-22.jpg]) и при всяком i = l,..., k-1 отображение [img: http://localhost:8080/file/052213-23.jpg] суммируемо на каждом отрезке, содержащемся в [img: http://localhost:8080/file/052213-24.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/052213-25.jpg] -конечный или бесконечный интервал в [img: http://localhost:8080/file/052213-26.jpg] то пространство решений этой системы уравнений изоморфно [img: http://localhost:8080/file/052213-27.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/052213-28.jpg] Ф. с. р. системы (3) существуют, и каждая из них состоит из kn решений. Для линейных однородных систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старших производных, даже если коэффициенты системы постоянные, число решений, входящих в Ф. с. р. (т. е. размерность векторного пространства решений), вычисляется иногда не столь просто, как в вышеприведенных случаях. (В [1], з 11 рассмотрено такое вычисление для линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, не разрешенных относительно старших производных.)