Функторный морфизм

- аналог понятия гомоморфизма (левых) модулей с общим кольцом скаляров (роль кольца при этом играет область определения функторов, а сами функторы играют роль модулей). Пусть F1 и F2 -одноместные крвариантные функторы из категории [img: http://localhost:8080/file/052213-135.jpg] в категорию [img: http://localhost:8080/file/052213-136.jpg] Функторным морфизмом [img: http://localhost:8080/file/052213-137.jpg] наз. такое сопоставление каждому объекту Аиз [img: http://localhost:8080/file/052213-138.jpg] морфизма [img: http://localhost:8080/file/052213-139.jpg] что для любого морфизма [img: http://localhost:8080/file/052213-140.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/052213-141.jpg] коммутативна следующая диаграмма: [img: http://localhost:8080/file/052213-142.jpg] Если F1=F2, то, полагая [img: http://localhost:8080/file/052213-143.jpg] получают т. н. тождественный морфизм функтора F1. Если [img: http://localhost:8080/file/052213-144.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052213-145.jpg] -два Ф. м., то, полагая [img: http://localhost:8080/file/052213-146.jpg] получают Ф. м. [img: http://localhost:8080/file/052213-147.jpg] называемый произведением [img: http://localhost:8080/file/052213-148.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052213-149.jpg] Композиция Ф. м. ассоциативна. Поэтому для малой категории [img: http://localhost:8080/file/052213-150.jpg] все функторы из [img: http://localhost:8080/file/052213-151.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/052213-152.jpg] и их Ф. м. образуют т. н. категорию функторов Funct [img: http://localhost:8080/file/052213-153.jpg] или категорию диаграмм со схемой [img: http://localhost:8080/file/052213-154.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/052213-155.jpg] -Ф. м. и [img: http://localhost:8080/file/052213-156.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052213-157.jpg] - два функтора. Формулы [img: http://localhost:8080/file/052213-158.jpg] определяют Ф. м. [img: http://localhost:8080/file/052213-159.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052213-160.jpg] соответственно. Тогда для любых Ф. м. [img: http://localhost:8080/file/052213-161.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052213-162.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052213-163.jpg] справедливо соотношение [img: http://localhost:8080/file/052213-164.jpg] Ф. М. Ш. Цаленко.