Функционал

от марковского процесса - случайная величина или случайная функция, зависящая измеримым образом от траектории марковского процесса; условие измеримости варьируется в зависимости от конкретной ситуации. В общей теории марковских процессов принимается следующее определение Ф. Пусть в измеримом пространстве [img: http://localhost:8080/file/052214-18.jpg] задан необрывающийся однородный марковский процесс [img: http://localhost:8080/file/052214-19.jpg] с операторами временного сдвига [img: http://localhost:8080/file/052214-20.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/052214-21.jpg] -наименьшая из [img: http://localhost:8080/file/052214-22.jpg] -алгебр в пространстве элементарных событий, содержащих любое событие вида [img: http://localhost:8080/file/052214-23.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052214-24.jpg] - пересечение всех пополнений [img: http://localhost:8080/file/052214-25.jpg] по всевозможным мерам [img: http://localhost:8080/file/052214-26.jpg] Случайная функция [img: http://localhost:8080/file/052214-27.jpg] наз. функционалом от марковского процесса Х, если при каждом [img: http://localhost:8080/file/052214-28.jpg] величина [img: http://localhost:8080/file/052214-29.jpg] измерима относительно [img: http://localhost:8080/file/052214-30.jpg] -алгебры [img: http://localhost:8080/file/052214-31.jpg] Особый интерес представляют мультипликативные и аддитивные Ф. от марковских процессов. Первые из них выделяются условием [img: http://localhost:8080/file/052214-32.jpg] вторые - условием [img: http://localhost:8080/file/052214-33.jpg] причем функцию [img: http://localhost:8080/file/052214-34.jpg] считают непрерывной справа на [img: http://localhost:8080/file/052214-35.jpg] (с другой стороны, иногда приходится предполагать эти условия выполняющимися лишь Р х -почти наверное для любых фиксированных [img: http://localhost:8080/file/052214-36.jpg] Соответствующие формулировки принимаются в случае обрывающихся и неоднородных процессов. Примеры аддитивных Ф. от марковского процесса [img: http://localhost:8080/file/052214-37.jpg] можно получить, приравняв [img: http://localhost:8080/file/052214-38.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052214-39.jpg] или к [img: http://localhost:8080/file/052214-40.jpg] или к сумме скачков случайной функции f(xs)при [img: http://localhost:8080/file/052214-41.jpg] где f(х) - ограниченная и измеримая относительно [img: http://localhost:8080/file/052214-42.jpg] функция (второй и третий примеры корректны лишь при нек-рых дополнительных условиях). Переход от любого аддитивного Ф. [img: http://localhost:8080/file/052214-43.jpg] к ехр [img: http://localhost:8080/file/052214-44.jpg] доставляет пример мультипликативного Ф. В случае стандартного марковского процесса интересным и важным примером мультипликативного Ф. служит случайная функция, равная 1 при [img: http://localhost:8080/file/052214-45.jpg] и 0 при [img: http://localhost:8080/file/052214-46.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052214-47.jpg] -момент первого выхода Xиз нек-рого множества [img: http://localhost:8080/file/052214-49.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052214-48.jpg] С мультипликативными Ф., подчиненными условию [img: http://localhost:8080/file/052214-50.jpg] связано одно естественное преобразование марковского процесса -переход к подпроцессу. По переходной функции Р(t, х, В)процесса [img: http://localhost:8080/file/052214-51.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052214-52.jpg] строят новую [img: http://localhost:8080/file/052214-53.jpg] причем может оказаться, что [img: http://localhost:8080/file/052214-54.jpg] в нек-рых точках [img: http://localhost:8080/file/052214-55.jpg] Новой переходной функции в [img: http://localhost:8080/file/052214-56.jpg] соответствует нек-рый марковский процесс [img: http://localhost:8080/file/052214-57.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052214-58.jpg] к-рый вместе с исходным можно реализовать на одном и том же пространстве элементарных событий с одними и теми же мерами [img: http://localhost:8080/file/052214-59.jpg] причем так, что [img: http://localhost:8080/file/052214-60.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052214-61.jpg] и что [img: http://localhost:8080/file/052214-62.jpg] -алгебра [img: http://localhost:8080/file/052214-63.jpg] является следом [img: http://localhost:8080/file/052214-64.jpg] -алгебры [img: http://localhost:8080/file/052214-65.jpg] в множестве [img: http://localhost:8080/file/052214-66.jpg] Процесс [img: http://localhost:8080/file/052214-67.jpg] наз. подпроцессом марковского процесса X, получаемым в результате лубивания