Фурье интегральный оператор

интегральный оператор, обобщенное ядро к-рого является быстроосциллирующей функцией или интегралом от такой функции. Операторы такого типа возникли при исследовании асимптотики быстроосциллирующих решений уравнений с частными производными (см. [1], [2]) и при исследовании особенностей фундаментальных решений гиперболич. уравнений (см. [1], [2], [3]). I. Канонический оператор Маслова (КОМ). Пусть [img: http://localhost:8080/file/052217-79.jpg] есть n-мерное лагранжево многообразие класса [img: http://localhost:8080/file/052217-80.jpg] в фазовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/052217-81.jpg] где х [img: http://localhost:8080/file/052217-82.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052217-83.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052217-84.jpg] -объем на А. Каноническим атласом наз. локально конечное счетное покрытие многообразия [img: http://localhost:8080/file/052217-85.jpg] ограниченными односвязными областями [img: http://localhost:8080/file/052217-86.jpg] (картами), в каждой из к-рых в качестве координат можно взять либо переменные х, либо р, либо смешанный набор [img: http://localhost:8080/file/052217-87.jpg] не содержащий сопряженных пар (pj, х j). КОМ действует из [img: http://localhost:8080/file/052217-88.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/052217-89.jpg] Канонич. операторы вводятся следующим образом. [img: http://localhost:8080/file/052217-90.jpg] 1) Пусть карта [img: http://localhost:8080/file/052217-91.jpg] -неособая, т. е. [img: http://localhost:8080/file/052217-93.jpg] задается уравнением р = р (х)и [img: http://localhost:8080/file/052217-92.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/052217-94.jpg] -параметр, [img: http://localhost:8080/file/052217-95.jpg] -фиксированная точка, [img: http://localhost:8080/file/052217-96.jpg] и функция [img: http://localhost:8080/file/052217-97.jpg] 2) Пусть в карте [img: http://localhost:8080/file/052217-98.jpg] локальные координаты суть р, т. е. [img: http://localhost:8080/file/052217-100.jpg] задается уравнением х = х (р)и пусть [img: http://localhost:8080/file/052217-99.jpg] Здесь F-1 есть [img: http://localhost:8080/file/052217-101.jpg] -преобразование Фурье [img: http://localhost:8080/file/052217-102.jpg] Аналогично определяется [img: http://localhost:8080/file/052217-103.jpg] в случае, когда координаты в [img: http://localhost:8080/file/052217-104.jpg] -набор [img: http://localhost:8080/file/052217-105.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/052217-107.jpg] и индекс Маслова [img: http://localhost:8080/file/052217-106.jpg] для любого замкнутого пути l, лежащего на [img: http://localhost:8080/file/052217-108.jpg] Вводится разбиение единицы класса [img: http://localhost:8080/file/052217-109.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/052217-110.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052217-111.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052217-112.jpg] и фиксируется точка [img: http://localhost:8080/file/052217-114.jpg] КОМ определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/052217-113.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052217-115.jpg] -индекс Маслова цепочки карт, соединяющих карты [img: http://localhost:8080/file/052217-116.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052217-117.jpg] Точка [img: http://localhost:8080/file/052217-118.jpg] наз. неособой, если в ее окрестности [img: http://localhost:8080/file/052217-119.jpg] задается уравнением р=р (х). Пусть пересечение карт [img: http://localhost:8080/file/052217-120.jpg] непусто и связно, [img: http://localhost:8080/file/052217-121.jpg] -неособая точка и [img: http://localhost:8080/file/052217-122.jpg] -координаты в этих картах. Индексом Маслова пары карт [img: http://localhost:8080/file/052217-123.jpg] наз. число [img: http://localhost:8080/file/052217-124.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052217-125.jpg] -число отрицательных собственных значений матрицы А. Индекс Маслова цепочки карт определяется по аддитивности. Аналогично определяется индекс Маслова ind l пути l. Индекс Маслова ind (mod 4) пути на лагранжевом многообразии есть целочисленный гомотопич. инвариант (см. [1], [3]). КОМ инвариантен относительно выбора канонич. атласа локальных координат в картах и разбиения единицы, в следующем смысле: если [img: http://localhost:8080/file/052217-126.jpg] -два КОМ, то в [img: http://localhost:8080/file/052217-127.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052217-128.jpg] для любой функции [img: http://localhost:8080/file/052217-129.jpg] Важнейший результат теории КОМ - формула коммутации КОМ и [img: http://localhost:8080/file/052217-130.jpg] -дифференциального (или [img: http://localhost:8080/file/052217-131.jpg] -псевдодифференциального [3]) оператора. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052217-132.jpg] - дифференциальный оператор с действительным символом L(х, р)класса [img: http://localhost:8080/file/052217-133.jpg] и выполнены условия: L(х, р)=0 на [img: http://localhost:8080/file/052217-134.jpg] Многообразие [img: http://localhost:8080/file/052217-135.jpg] и объем [img: http://localhost:8080/file/052217-136.jpg] инвариантны относительно гамильтоновой системы [img: http://localhost:8080/file/052217-137.jpg] Тогда справедлива формула коммутации (здесь [img: http://localhost:8080/file/052217-138.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052217-139.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052217-140.jpg] -производная в силу гамильтоновой системы. Следующие члены разложения (1) и оценки остаточных членов см. [3]. Уравнение [img: http://localhost:8080/file/052217-141.jpg] наз. уравнением переноса. Из формулы коммутации следует, что если [img: http://localhost:8080/file/052217-142.jpg] то функция [img: http://localhost:8080/file/052217-143.jpg] есть формальное асимптотич. решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/052217-144.jpg] Метод КОМ позволил решить следующие задачи. 1) Построение асимптотики решения задачи Коши с быстроосциллирующими начальными данными в большом (т. е. за любое конечное время) для строго гиперболич. систем дифференциальных уравнений с частными производными, для систем Дирака, Максвелла, теории упругости, для уравнения Шрёдингера (см. [1], [9] - [6], а также Квазиклассические приближение), а также решения нек-рых смешанных задач [4]. 2) Построение асимптотики серий собственных значений самосопряженных дифференциальных операторов, ассоциированных с инвариантными относительно соответствующей гамильтоновой системы лагранжевыми многообразиями (см. [1], [3]). 3) Построение асимптотич. разложения по гладкости фундаментального решения строго гиперболич. системы уравнений с частными производными (см. [1], [5], [6]). 4) Построение коротковолновой асимптотики функции Грина, решения задачи о рассеянии и амплитуды рассеяния для уравнения Шрёдингера асимптотики спектральной функции (см. [5] - [7]). Развит новый вариант КОМ на лагранжевых многообразиях с комплексным ростком (см. [8], [9]). II. Интегральный оператор Фурье (ИОФ). Пусть X, Y - ограниченные области в [img: http://localhost:8080/file/052217-145.jpg] N=N1 + N2, [img: http://localhost:8080/file/052217-146.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052217-147.jpg] ИОФ наз. оператор [img: http://localhost:8080/file/052217-148.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/052217-149.jpg] (фазовая функция) - действительная и положительно однородная по [img: http://localhost:8080/file/052217-150.jpg] порядка 1, [img: http://localhost:8080/file/052217-151.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052217-152.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052217-153.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/052217-154.jpg] (символ) и в простейшем случае разлагается при [img: http://localhost:8080/file/052217-155.jpg] в асимптотич. ряд [img: http://localhost:8080/file/052217-156.jpg] Интеграл (2) сходится после соответствующей регуляризации и определяет непрерывный линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/052217-157.jpg] Ядро оператора Аравно [img: http://localhost:8080/file/052217-158.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/052217-159.jpg] и бесконечно дифференцируема вне проекции [img: http://localhost:8080/file/052217-160.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/052217-161.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/052217-162.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052217-163.jpg] Особенности Кзависят только от тейлоровского разложения символа рвокрестности С(при фиксированной фазе [img: http://localhost:8080/file/052217-164.jpg] Пусть фаза [img: http://localhost:8080/file/052217-165.jpg] невырождена, т. е. дифференциалы [img: http://localhost:8080/file/052217-167.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052217-166.jpg] линейно независимы на С';тогда С - гладкое многообразие размерности п. Оператору Аотвечает гладкое, коническое (по переменному [img: http://localhost:8080/file/052217-168.jpg] двойственному к z =(x, у))лагранжево многообразие [img: http://localhost:8080/file/052217-169.jpg] размерности n-образ Спри отображении [img: http://localhost:8080/file/052217-170.jpg] В дальнейшем оператор Арассматривается на плотностях и(у)порядка 1/2: [img: http://localhost:8080/file/052217-171.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/052217-172.jpg] при замене переменных [img: http://localhost:8080/file/052217-173.jpg] Символу рставится в соответствие плотность [img: http://localhost:8080/file/052217-174.jpg] порядка 1/2 на [img: http://localhost:8080/file/052217-175.jpg] к-рая является образом [img: http://localhost:8080/file/052217-176.jpg] при отображении (3), где [img: http://localhost:8080/file/052217-177.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052217-178.jpg] - координаты на [img: http://localhost:8080/file/052217-179.jpg] первого порядка однородности по [img: http://localhost:8080/file/052217-180.jpg] перенесенные с помощью (3) на С. Плотность bпри [img: http://localhost:8080/file/052217-181.jpg] разлагается в асимптотич. ряд [img: http://localhost:8080/file/052217-182.jpg] коэффициент b0 наз. главным символом оператора А. Пусть оператор Апредставим в виде (2), но с другой невырожденной фазовой функцией [img: http://localhost:8080/file/052217-183.jpg] и с другим символом [img: http://localhost:8080/file/052217-184.jpg] Тогда для этого представления многообразие [img: http://localhost:8080/file/052217-185.jpg] остается прежним, величина [img: http://localhost:8080/file/052217-186.jpg] постоянна, а главный символ [img: http://localhost:8080/file/052217-187.jpg] равен [img: http://localhost:8080/file/052217-188.jpg] Общее определение ИОФ таково. Пусть X, Y- гладкие многообразия размерности N1, N2 и [img: http://localhost:8080/file/052217-189.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052217-190.jpg] -конич. гладкое лагранжево многообразие размерности п = N1+N2. Для любой точки [img: http://localhost:8080/file/052217-191.jpg] существует невырожденная фазовая функция такая, что построенное по ней лагранжево многообразие локально совпадает с [img: http://localhost:8080/file/052217-192.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/052217-193.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052217-194.jpg] - множество объектов, состоящих из: а) локальных координатных окрестностей [img: http://localhost:8080/file/052217-195.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052217-196.jpg] с локальными координатами [img: http://localhost:8080/file/052217-197.jpg] z =(x, у); б) целого числа N и невырожденной фазовой функции [img: http://localhost:8080/file/052217-198.jpg] определенной в [img: http://localhost:8080/file/052217-199.jpg] и такой, что отображение [img: http://localhost:8080/file/052217-200.jpg] есть диффеоморфизм на открытое подмножество [img: http://localhost:8080/file/052217-201.jpg] ИОФ наз. оператор [img: http://localhost:8080/file/052217-202.jpg] где А j имеет вид (2), N = Nj, [img: http://localhost:8080/file/052217-203.jpg] и носитель символа р= pj содержится в множестве [img: http://localhost:8080/file/052217-204.jpg] К j - компакт в [img: http://localhost:8080/file/052217-205.jpg] Класс таких операторов Aобозначают I т(L). Пусть [img: http://localhost:8080/file/052217-206.jpg] -множество однородных порядка [img: http://localhost:8080/file/052217-209.jpg] по [img: http://localhost:8080/file/052217-207.jpg] плотностей на [img: http://localhost:8080/file/052217-208.jpg] порядка 1/2. По главным символам [img: http://localhost:8080/file/052217-210.jpg] операторов AJ естественным образом строится главный символ [img: http://localhost:8080/file/052217-211.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052217-212.jpg] оператора А, так что отображение [img: http://localhost:8080/file/052217-213.jpg] есть изоморфизм (см. [2], [14]). Наиболее важным для приложений ИОФ к дифференциальным уравнениям с частными производными является случай, когда проекции [img: http://localhost:8080/file/052217-214.jpg] - локальные диффеоморфизмы. Тогда N1=N2. и плотность d С -равна [img: http://localhost:8080/file/052217-215.jpg] и ограничен оператор [img: http://localhost:8080/file/052217-216.jpg] Так же, как и для КОМ, для ИОФ есть формулы коммутации с дифференциальными операторами со всеми вытекающими из них следствиями. Локально ИОФ можно представить в виде интеграла по параметру от КОМ (см. [10]). ИОФ применяется: 1) Для построения параметрикса и изучения микролокальной структуры особенностей (волновых фронтов) решений, гиперболич. уравнений, уравнений главного типа и краевых задач (см. [2], [14]). 2) При исследовании вопроса о локальной и глобальной разрешимости и субэллиптичности уравнений (см. [12]). 3) Для получения асимптотики спектральной функции псевдодифференциальных операторов (см. [13]).