Целая функция

- функция, аналитическая но всей плоскости комплексного переменного (кроме, возможно, бесконечно удаленной точки). Она разлагается в степенной ряд [img: http://localhost:8080/file/052401-13.jpg] сходящийся во всей плоскости [img: http://localhost:8080/file/052401-15.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052401-14.jpg] всюду, то f(z)=eP(z), где Р(z)- Ц. [img: http://localhost:8080/file/052401-16.jpg] где P(z) есть Ц. ф. В общем случае, когда у f(z) имеется бесконечно много нулей z1, z2,..., имеет место представление (см. Вейерштрасса теорема о бесконечном произведении) [img: http://localhost:8080/file/052401-17.jpg] где Р(z)есть Ц. ф., а [img: http://localhost:8080/file/052401-18.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/052401-19.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052401-20.jpg] равно кратности нуля z=0, если f(0)=0. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052401-21.jpg] Если при больших r величина М(r) растет не быстрее [img: http://localhost:8080/file/052401-22.jpg] то f(z) - многочлен степени не большей [img: http://localhost:8080/file/052401-23.jpg] Следовательно, если f(z) не многочлен, то М(r)растет быстрее любой степени r. При оценке роста М(r)в этом случае берется в качестве функции сравнения показательная функция. По определению, f(z) есть Ц. ф. конечного порядка, если имеется конечное [img: http://localhost:8080/file/052401-24.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/052401-25.jpg] Нижняя грань [img: http://localhost:8080/file/052401-26.jpg] множества чисел m, удовлетворяющих этому условию, наз. порядком Ц. ф. f(z). Порядок вычисляется по формуле [img: http://localhost:8080/file/052401-27.jpg] Если f(z) порядка [img: http://localhost:8080/file/052401-28.jpg] удовлетворяет условию [img: http://localhost:8080/file/052401-29.jpg] то говорят, что f(z) - функция порядка [img: http://localhost:8080/file/052401-30.jpg] и конечного типа. Нижняя грань [img: http://localhost:8080/file/052401-31.jpg] множества чисел [img: http://localhost:8080/file/052401-32.jpg] удовлетворяющих указанному условию, наз. типом Ц. ф. f(z). Он определяется из формулы [img: http://localhost:8080/file/052401-33.jpg] Среди Ц. ф. конечного типа различают Ц. ф. нормалъного типа [img: http://localhost:8080/file/052401-34.jpg] и минимального типа [img: http://localhost:8080/file/052401-35.jpg] Если условие (*) не выполняется при любом [img: http://localhost:8080/file/052401-36.jpg] то Ц. ф. наз. Ц. ф. максимального, или бесконечного, типа. Ц. ф. порядка 1 и конечного типа, а также Ц. ф. порядка ниже 1, характеризуемые условием [img: http://localhost:8080/file/052401-37.jpg] наз. Ц. ф. экспоненциального типа. Нули z1, z2,... Ц. ф. f(z) порядка r обладают свойством: [img: http://localhost:8080/file/052401-38.jpg] Пусть р- наименьшее целое [img: http://localhost:8080/file/052401-39.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/052401-40.jpg] Тогда (см. Адамара теорема о целых функциях) имеет место представление [img: http://localhost:8080/file/052401-41.jpg] где Р(z) - многочлен степени не выше [img: http://localhost:8080/file/052401-42.jpg] Для характеристики роста Ц. ф. f(z) конечного порядка [img: http://localhost:8080/file/052401-43.jpg] и конечного типа [img: http://localhost:8080/file/052401-44.jpg] вдоль лучей вводится величина [img: http://localhost:8080/file/052401-45.jpg] - роста индикатриса. Всегда [img: http://localhost:8080/file/052401-46.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052401-47.jpg] где Е 0 -в нек-ром смысле малое множество (множество нулевой относительной меры), то нули f(z) расположены на плоскости в определенном смысле весьма правильно и имеется точно описываемая связь между [img: http://localhost:8080/file/052401-48.jpg] и характеристикой (плотностью) нулей. Функции f(z) с таким свойством наз. функциями вполне регулярного роста. Функция многих переменных f(z1, z2,..., zn)есть Ц. ф., если она является аналитической при [img: http://localhost:8080/file/052401-49.jpg] (k=1, 2,..., n). Для нее вводятся понятия порядка и типа (сопряженных порядков и типов). Простого представления в виде бесконечного произведения здесь получить не удается, потому что в отличие от случая п=1 нули f(z) не являются изолированными.