Центральные показатели

линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений - величины, определяемые формулами [img: http://localhost:8080/file/052402-72.jpg] (верхний центральный показатель) и [img: http://localhost:8080/file/052402-73.jpg] (нижний центральный показатель); иногда нижним Ц. п. называется величина [img: http://localhost:8080/file/052402-74.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/052402-75.jpg] - Коши оператор системы [img: http://localhost:8080/file/052402-76.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052402-77.jpg] - суммируемое на каждом отрезке отображение [img: http://localhost:8080/file/052402-78.jpg] Ц. п. [img: http://localhost:8080/file/052402-79.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052402-80.jpg] могут равняться [img: http://localhost:8080/file/052402-81.jpg] имеют место неравенства [img: http://localhost:8080/file/052402-82.jpg] из к-рых следует, что если система (1) удовлетворяет условию [img: http://localhost:8080/file/052402-83.jpg] то ее Ц. [img: http://localhost:8080/file/052402-86.jpg] Для системы (1) с постоянными коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/052402-87.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052402-88.jpg] Ц. п. [img: http://localhost:8080/file/052402-89.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052402-90.jpg] равны соответственно максимуму и минимуму действительных частей собственных значений оператора А. Для системы (1) с периодич. коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/052402-91.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/052402-92.jpg] для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/052402-93.jpg] -наименьший период) Ц. п. [img: http://localhost:8080/file/052402-94.jpg] -и [img: http://localhost:8080/file/052402-95.jpg] равны соответственно максимуму и минимуму логарифмов модулей мультипликаторов, деленных на период [img: http://localhost:8080/file/052402-96.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052402-97.jpg] - почти периодич. отображение (см. Линейная система дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами), то Ц. п. системы (1) совпадают с особыми показателями: [img: http://localhost:8080/file/052402-98.jpg] (теорема Былова). Для всякой фиксированной системы (1) условие [img: http://localhost:8080/file/052402-99.jpg] достаточно для существования [img: http://localhost:8080/file/052402-100.jpg] такого, что у всякой системы [img: http://localhost:8080/file/052402-101.jpg] удовлетворяющей условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши и условию [img: http://localhost:8080/file/052402-102.jpg] решение х=0 асимптотически устойчиво (теорема Винограда). Условие [img: http://localhost:8080/file/052402-103.jpg] в теореме Винограда не только достаточно, но и необходимо (необходимость сохранится и в том случае, если асимптотич. устойчивость заменить на устойчивость по Ляпунову). Функция [img: http://localhost:8080/file/052402-104.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/052402-105.jpg] на пространстве М п систем (1). с ограниченными непрерывными коэффициентами (т. е. [img: http://localhost:8080/file/052402-106.jpg] непрерывно и [img: http://localhost:8080/file/052402-107.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052402-108.jpg] наделенном метрикой [img: http://localhost:8080/file/052402-109.jpg] полунепрерывна сверху (соответственно снизу), но каждая из этих функций не всюду непрерывна. Для всякой системы (1) из М n как угодно близко к ней (в М n)найдутся системы [img: http://localhost:8080/file/052402-110.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/052402-111.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052402-112.jpg] i=1, 2, - соответственно наибольший (старший) и наименьший (младший) характеристич. показатели Ляпунова систем (2) Если отображение [img: http://localhost:8080/file/052402-113.jpg] равномерно непрерывно и [img: http://localhost:8080/file/052402-114.jpg] то для почти всякого отображения [img: http://localhost:8080/file/052402-115.jpg] (в смысле всякой нормированной инвариантной меры сдвигов динамической системы [img: http://localhost:8080/file/052402-116.jpg] сосредоточенной на замыкании траектории точки А;отображения [img: http://localhost:8080/file/052402-117.jpg] Арассматриваются как точки пространства динамич. системы сдвигов) верхний (нижний) Ц.