Цепная дробь

непрерывная дробь,- выражение вида [img: http://localhost:8080/file/052402-129.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052402-130.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052402-131.jpg] -конечные или бесконечные последовательности комплексных чисел. Вместо выражения (1) употребляется также обозначение [img: http://localhost:8080/file/052402-132.jpg] Цепной дробью последовательности (2) наз. выражение вида [img: http://localhost:8080/file/052402-133.jpg] Для каждой Ц. д. (1) рекуррентные уравнения [img: http://localhost:8080/file/052402-134.jpg] с начальными условиями [img: http://localhost:8080/file/052402-135.jpg] определяют две последовательности [img: http://localhost:8080/file/052402-136.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052402-137.jpg] комплексных чисел. Обычно предполагается, что последовательности (2) и (3) таковы, что [img: http://localhost:8080/file/052402-138.jpg] для всех п, [img: http://localhost:8080/file/052402-139.jpg] Дробь [img: http://localhost:8080/file/052402-140.jpg] наз. подходящей дробью порядка пЦ. д. (1). При этом [img: http://localhost:8080/file/052402-141.jpg] кроме того [img: http://localhost:8080/file/052402-142.jpg] Подходящую дробь порядка пЦ. д. последовательности (2)принято обозначать [img: http://localhost:8080/file/052403-1.jpg] Для таких подходящих дробей имеют место равенства: [img: http://localhost:8080/file/052403-2.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052403-3.jpg] и последовательность подходящих дробей Ц. д. (1) сходится к век-рому пределу l, то Ц. д. (1) наз. сходящейся, а число l - значением этой Ц. д. Если же [img: http://localhost:8080/file/052403-4.jpg] т. е. Ц. д. конечна, то ее значением наз. последнюю подходящую дробь последовательности ее подходящих дробей. Если все члены последовательностей (2) и (3), кроме, быть может, а 0, положительные действительные числа, а число а 0 действительно, то последовательность [img: http://localhost:8080/file/052403-5.jpg] подходящих дробей четного порядка Ц. д. (1) возрастает, п последовательность [img: http://localhost:8080/file/052403-6.jpg] подходящих дробей нечетного порядка убывает. При этом любая подходящая дробь четного порядка меньше каждой подходящей дроби нечетного порядка (см. [5]). Если [img: http://localhost:8080/file/052403-7.jpg] - такай последовательность комплексных чисел, что [img: http://localhost:8080/file/052403-8.jpg] то выражение (1) наз. разложением числа в цепную дробь. Не всякая Ц. д. сходится и значение Ц. д. не всегда равно числу, разложением к-рого она является. Существует ряд признаков сходимости Ц. д. (см., напр., [3], [5]): 1) Пусть [img: http://localhost:8080/file/052403-9.jpg] все члены последовательностей (2) и (3) действительные числа и а 0>0 для всех натуральных п, начиная с нек-рого. Если для таких. выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/052403-10.jpg] то Ц. д. (1) сходится. 2) Пусть [img: http://localhost:8080/file/052403-11.jpg] и все члены последовательности (2), начиная с а 1. положительны. Тогда Ц. д. последовательности (2) сходится в том и только в том случае, если ряд [img: http://localhost:8080/file/052403-12.jpg] расходится (теорема Зейделя). Ц. д. последовательности (2) наз. правильной, если все ее члены (кроме, быть может, а 0) - натуральные числа, а 0- целое число, а [img: http://localhost:8080/file/052403-13.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/052403-14.jpg] Для любого действительного числа rсуществует единственная правильная Ц. д., значение к-рой равно r. Эта дробь конечна в том н только том случае, если число r рационально (см. [1], [2|, [4|). Алгоритм разложения действительного числа rв правильную Ц. д. определяется следующими соотношениями: [img: http://localhost:8080/file/052403-15.jpg] где [x] означает целую часть х. Числа а n и [img: http://localhost:8080/file/052403-16.jpg] определяемые из условий (4), наз. соответственно полным и неполным частными порядка празложения числа rв Ц. д. В 1776 И. Ламберт (J. Lambert) нашел разложение tg xв цепную дробь: [img: http://localhost:8080/file/052403-17.jpg] А. Лежандр (A. Legendre) в предположении, что эта Ц. д. сходится, показал, что ее значение для рациональных значений хиррационально. Принято считать, что тем самым была доказана иррациональность числа [img: http://localhost:8080/file/052403-18.jpg] (см. [7]). Л. Эйлер (L. Еuler, 1737) нашел, что [img: http://localhost:8080/file/052403-19.jpg] Действительное число rявляется иррациональным корнем многочлена 2-й степени с целыми коэффициентами тогда и только тогда, когда неполные частные разложения числа г в Ц. д., начиная с нек-рого, периодически повторяются (теорема Эйлера - Лагранжа, см. [1], [4]). Неизвестны (1984) разложения в правильную Ц. д. алгебраич. чисел 3-й и более высоких степеней. Не доказано и предположение, что неполные частные разложения [img: http://localhost:8080/file/052403-20.jpg] в Ц. д. ограничены. Правильные Ц. д.- весьма удобный аппарат для приближения действительных чисел рациональными. Справедливы следующие утверждения: 1) Если [img: http://localhost:8080/file/052403-21.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052403-22.jpg] - соседние подходящие дроби азложения числа r в правильную Ц. д., то [img: http://localhost:8080/file/052403-23.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052403-24.jpg] причем в последнем случае равенство имеет место лишь, если [img: http://localhost:8080/file/052403-25.jpg] 2) Из двух соседних подходящих дробей разложения числа rв правильную Ц. д. хотя бы для одной из них выполняется неравенство: [img: http://localhost:8080/file/052403-26.jpg] 3) Если аи b - целые числа, b>0, r - действительное число и [img: http://localhost:8080/file/052403-27.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/052403-28.jpg] - подходящая дробь разложения числа r в правильную Ц. д. 4) Если - [img: http://localhost:8080/file/052403-29.jpg] подходящая дробь разложения числа твправильную Ц. д., то для любых целых а и b, из b> 0, [img: http://localhost:8080/file/052403-30.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052403-31.jpg] следует b>Qn (теорема о наилучшем приближени). Первые двадцать пять неполных частных разложения числа я в правильную Ц. д. суть числа: 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, Г. 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1. Первые пять подходящих дробей разложения числа p в правильную Ц. д. суть: [img: http://localhost:8080/file/052403-32.jpg] Поэтому [img: http://localhost:8080/file/052403-33.jpg] Существуют различные обобщения Ц. д. (см., напр., [9]).