Цилиндрические функции

бесселевы функции,- решения Zv дифференциального уравнения Бесселя [img: http://localhost:8080/file/052403-118.jpg] где v - произвольное действительное или комплексное число (см. Бесселя уравнение). Цилиндрические функции произвольного порядка. Если vне является целым числом, то общее решение урарнения (1) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052403-119.jpg] где с 1 и с 2 - постоянные, a Jv и J-v- т. н. Ц. ф. 1-го рода, или Бесселя функции. Для них справедливо разложение [img: http://localhost:8080/file/052403-120.jpg] Ряд в правой части для [img: http://localhost:8080/file/052403-121.jpg] сходится абсолютно и равномерно при всех [img: http://localhost:8080/file/052403-122.jpg] где Rи N - произвольные положительные числа. Функции [img: http://localhost:8080/file/052403-123.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052403-124.jpg] -аналитические, с особыми точками z = 0 и [img: http://localhost:8080/file/052403-125.jpg] производные [img: http://localhost:8080/file/052403-126.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052403-127.jpg] удовлетворяют следующему тождеству: [img: http://localhost:8080/file/052403-128.jpg] Если же v - целое, то [img: http://localhost:8080/file/052403-129.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052403-130.jpg] линейно зависимы, и их линейная комбинация уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. 1-го рода, вводят Ц. ф. 2-го рода Nv (z) (или Неймана Функции, функции Вeбора): [img: http://localhost:8080/file/052403-131.jpg] (другое обозначение Yv(z)). При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде [img: http://localhost:8080/file/052403-132.jpg] Важны для приложений и другие решения уравне ния (1) - Ц. ф. 3-го рода (или Ганкеля функции). Их обозначают через [img: http://localhost:8080/file/052403-133.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052403-134.jpg] и, по определению, полагают [img: http://localhost:8080/file/052403-135.jpg] Справедливы тождества [img: http://localhost:8080/file/052404-1.jpg] и соотношения [img: http://localhost:8080/file/052404-2.jpg] Для действительных z = x и ш функции Ганкеля являются комплексно сопряженными решениями уравнения (1). При этом функции Jv(z)дают действительную часть, а функции Nv(x). мнимую часть функций Ганкеля. Ц. ф. 1-го, 2-го и 3-го рода Zv удовлетворяют рекуррентным формулам [img: http://localhost:8080/file/052404-3.jpg] Каждая пара функций [img: http://localhost:8080/file/052404-4.jpg] образует (при нецелом v) фундаментальную систему решений уравнения (1). Модифицированными Ц. ф. наз. Ц. ф. мнимого аргумента [img: http://localhost:8080/file/052404-5.jpg] и Мaкдoналъда функции: [img: http://localhost:8080/file/052404-6.jpg] Эти функции являются решениями дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/052404-7.jpg] и удовлетворяют рекуррентным формулам [img: http://localhost:8080/file/052404-8.jpg] Цилиндрические функции целых и полуцелых порядков. Если v=n - целое число, то Jn(z) можно определить с помощью формулы Якоби - Ангера [img: http://localhost:8080/file/052404-9.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/052404-10.jpg] Справедливы равенства [img: http://localhost:8080/file/052404-11.jpg] Функция Jn(z)есть целая трансцендентная функция аргумента z;для алгебраического z = a, [img: http://localhost:8080/file/052404-12.jpg] Jn(z) есть трансцендентное число и [img: http://localhost:8080/file/052404-13.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052404-14.jpg] В качестве второго линейно независимого с Jn(z) решения уравнения (1) обычно берут функцию [img: http://localhost:8080/file/052404-15.jpg] где с=0,577215...- постоянная Эйлера. Если в одной из конечных сумм верхний индекс суммирования меньше нижнего, то соответствующая сумма получает значение 0. Справедливо равенство Y-n(z)=(-1)nYn(z). Ц. ф. тогда и только тогда превращаются в элементарные функции, когда индекс v принимает значение v=n+1/2, n=0,1,2,... (сферические функции Бесселя, или Ц. ф. полуцелого порядка). Справедливы формулы (n=0, 1, 2,...): [img: http://localhost:8080/file/052404-16.jpg] в частности [img: http://localhost:8080/file/052404-17.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-18.jpg] в частности [img: http://localhost:8080/file/052404-19.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-20.jpg] Интегральные представления цилиндрических функций. Для v=n=0,1,2,... имеется интегральное представление Бесселя [img: http://localhost:8080/file/052404-21.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052404-22.jpg] Для [img: http://localhost:8080/file/052404-23.jpg] и R(z) > 0 имеется интегральное представление Пуассона [img: http://localhost:8080/file/052404-24.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052404-25.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-26.jpg] Кроме этих представлений, существует много других интегральных представлений, в частности в виде контурных интегралов (см. [2], [4], [5]). Асимптотическое поведение цилиндрических функций. Для [img: http://localhost:8080/file/052404-27.jpg] справедливо [img: http://localhost:8080/file/052404-28.jpg] Для действительных z=x имеют место [img: http://localhost:8080/file/052404-29.jpg] Для [img: http://localhost:8080/file/052404-30.jpg] имеют место следующие оценки [img: http://localhost:8080/file/052404-31.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-33.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-32.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-34.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-35.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-36.jpg] Для [img: http://localhost:8080/file/052404-37.jpg] п = 0, 1, 2,..., ряды (9) и (10) обрываются. Функции Ганкеля являются единственными Ц. ф., к-рые стремятся к нулю для комплексных значений переменного. при [img: http://localhost:8080/file/052404-38.jpg] (и в этом их особое значение для приложений): [img: http://localhost:8080/file/052404-39.jpg] Для больших значений |z| и |v| применимы асимптотич. ряды специальных типов (см. [1], [2], [3], [5]). Нули цилиндрических функций. Нули, произвольной Ц. ф. являются простыми нулями за исключением z = 0. Если а, b, v - действительные, то между двумя действительными нулями Jn(z) лежит один действительный нуль аJn(z)+bNv(z). При действительном v Jn(z) имеет бесконечно много действительных нулей; для v>-1 все нули Jv(z) действительны; если 0<jv, 1 < jv,2 <....-положительные нули Jn(z), то 0 < jv, 1 < jv+1, 1 < jv, 2 < jv+1,21 < jv, 3 <...... Для v>0 справедливо jv,1>0; также для наименьшего положительного нуля функции J'v(z) имеет место j'v, 1> 0. Пары функций [img: http://localhost:8080/file/052404-40.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-41.jpg] (z), п = 0, 1, 2,..., т=1, 2, 3,..., не имеют, кроме z = 0, общих нулей. Если [img: http://localhost:8080/file/052404-42.jpg] то Jv(z)имеет ровно 4n + 2 комплексных нулей, из к-рых два - чисто мнимые; если [img: http://localhost:8080/file/052404-43.jpg] n=1, 2, 3,..., то Jv(z)имеет ровно 4n комплексных нулей с отличной от нуля действительной частью. Теоремы сложения и разложения в ряды по цилиндрическим функциям. Справедливы следующие теоремы сложения: [img: http://localhost:8080/file/052404-44.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-45.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-46.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-47.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-48.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052404-49.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052404-50.jpg] - ультрасферические многочлены. При разложении Ц. ф. используются Ломмеля многочлены, Неймана ряды, Фурье-Бесселя ряды, Дирихле ряды. С Ц. ф. связаны Ангера функция, Струве функции, Ломмеля функции, Кельвина функции, Эйри функции. Ц. ф. можно определить как предельные значения сферич. функций следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/052404-51.jpg] При этом асимптотич. представления сферич. функций связаны с Ц. ф., и наоборот, как, напр., в формуле Xильба: [img: http://localhost:8080/file/052404-52.jpg] и в разложениях Макдональда, Ватсона, Трикоми и др. (см. [1], [2], [4]). Вычисление значений Ц. ф. на ЭВМ. Дли вычислений значений функций J0(x), J1(x), N0(x), N1(x), I0(x), I1(x), K0(x), K1(x) удобны аппроксимации многочленами и рациональными функциями (см. [5]). О разложениях по многочленам Чебышена см. [6]. Для вычисления функций больших целых порядков, особенно на ЭВМ, применяются рекуррентные соотношения (5) -(7) (см. [5]). Сведения об имеющихся таблицах Ц. ф. приводятся в [7], [8], [9].