Частично упорядоченная группа

группа G, на к-рой задано отношение частичного порядка [img: http://localhost:8080/file/052501-44.jpg] такое, что для любых а, b, х, у из G неравенство [img: http://localhost:8080/file/052501-45.jpg] влечет за собой [img: http://localhost:8080/file/052501-46.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/052501-47.jpg] Ч. у. г., называемое положительным конусом, или целой частью, группы G, обладает свойствами: 1) [img: http://localhost:8080/file/052501-48.jpg] 2) [img: http://localhost:8080/file/052501-49.jpg] 3) [img: http://localhost:8080/file/052501-50.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/052501-51.jpg] Всякое подмножество Ргруппы G, удовлетворяющее условиям 1) - 3), задает на Gчастичный порядок [img: http://localhost:8080/file/052501-52.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/052501-53.jpg] для к-рого Рслужит положительным конусом. Примеры Ч. у. г.: аддитивная гpyппa действительных чисел с обычным порядком; группа [img: http://localhost:8080/file/052501-54.jpg] функций, заданных на произвольном множестве Xсо значениями в [img: http://localhost:8080/file/052501-55.jpg] с операцией (f+g)(x) = f(x) + g(x)и отношением порядка [img: http://localhost:8080/file/052501-56.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/052501-57.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/052501-58.jpg] группа (М)всех автоморфизмов линейно упорядоченного множества Мна себя, относительно суперпозиции отображений и с отношением порядка: [img: http://localhost:8080/file/052501-59.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/052501-60.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/052501-61.jpg] Основными понятиями теории Ч. у. г. являются понятия порядкового гомоморфизма (см. Упорядоченная группа), выпуклой подгруппы, декартова и лексикографич. произведений. Важнейшие классы Ч. у. г.: линейно упорядоченные группы, структурно упорядоченные группы.