Частный коэффициент корреляции

мера линейной зависимости между двумя случайными величинами из нек-рой совокупности случайных величин в том случае, когда исключено влияние остальных. Точнее, пусть случайные величины Х 1,..., Х п имеют совместное распределение в [img: http://localhost:8080/file/052502-17.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/052502-18.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052502-19.jpg] - наилучшие линейные приближения величин X1 и Х 2 соответственно величинами Х 3,..., Х п. Тогда Ч. к. к. между X1 и Х 2,обозначаемый [img: http://localhost:8080/file/052502-20.jpg] определяется как обычный коэффициент корреляции между случайными величинами [img: http://localhost:8080/file/052502-23.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052502-21.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052502-22.jpg] Из определения следует, что [img: http://localhost:8080/file/052502-24.jpg] Ч. к. к. выражается через элементы корреляционной матрицы. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052502-25.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052502-26.jpg] - коэффициент корреляции между Xi и Xj,и пусть Р ij есть алгебраич. дополнение элемента [img: http://localhost:8080/file/052502-27.jpg] в определителе | Р|, тогда [img: http://localhost:8080/file/052502-28.jpg] Напр., при n = 3 [img: http://localhost:8080/file/052502-29.jpg] Аналогично определяется Ч. к. к. для любых величин Xi и Xj из X1,..., Х п. В самом общем случае Ч. к. к. [img: http://localhost:8080/file/052502-30.jpg] отличается от (полного) коэффициента корреляции [img: http://localhost:8080/file/052502-31.jpg] величин Х 1 и Х 2. По различию между [img: http://localhost:8080/file/052502-32.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052502-33.jpg] можно судить о том, зависимы ли X1 и Х 2 между собой, или зависимость между ними есть следствие зависимости каждой из них от величин X3,..., Х п. Если величины Х 1,..., Х n попарно некоррелированы, то все Ч. к. к. равны нулю. Выборочным аналогом Ч. к. к. [img: http://localhost:8080/file/052502-34.jpg] является статистика [img: http://localhost:8080/file/052502-35.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052502-36.jpg] -алгебраич. дополнение элемента [img: http://localhost:8080/file/052502-37.jpg] в определителе матрицы [img: http://localhost:8080/file/052502-38.jpg] выборочных коэффициентов корреляции [img: http://localhost:8080/file/052502-39.jpg] Если результаты наблюдений независимы и нормально распределены, то [img: http://localhost:8080/file/052502-40.jpg] распределен с плотностью вероятности [img: http://localhost:8080/file/052502-41.jpg] (N - объем выборки). Для проверки гипотезы о Ч. к. к. используется тот факт, что статистика [img: http://localhost:8080/file/052502-42.jpg] при указанных условиях имеет Стъюдента распределение с N-nстепенями свободы.