Частотная теорема

- теорема, формулирующая условия разрешимости уравнений Лурье [img: http://localhost:8080/file/052502-53.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052502-54.jpg] - заданные матрицы размеров [img: http://localhost:8080/file/052502-55.jpg] соответственно, Н=Н*, h - искомые матрицы размера nX. и. Х т. Уравнения Лурье имеют две другие эквивалентные формы: при [img: http://localhost:8080/file/052502-56.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052502-57.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052502-58.jpg] и в общем случае [img: http://localhost:8080/file/052502-59.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052502-61.jpg] заданная эрмитова форма векторов [img: http://localhost:8080/file/052502-63.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052502-60.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052502-62.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/052502-64.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052502-65.jpg] Если пара { Р, q}управляема, то уравнения Лурье сводятся к случаю, когда [img: http://localhost:8080/file/052502-66.jpg] При m = 1 и когда все матрицы действительны, в скалярной записи уравнения Лурье приобретают вид [img: http://localhost:8080/file/052502-67.jpg] здесь h=[h1,..., hn]- искомый вектор. Пусть пара { Р, q}стабилизируема, т. е. существует rтакое, что R = P+qr* - матрица Гурвица. Частотная теорема утверждает: для разрешимости уравнений Лурье необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/052502-68.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/052502-69.jpg] (I-единичная матрица). Ч. т. также формулирует процедуру определения матриц H, h и утверждает, что при [img: http://localhost:8080/file/052502-70.jpg] существуют такие (единственные) матрицы H, h, чтокроме (3) выполнено: [img: http://localhost:8080/file/052502-71.jpg] есть матрица Гурвица (см. [3]). Уравнение Лурье в форме (2) иногда наз. также матричным алгебраическим уравнением Риккати. Ч. т. используется при решении задач абсолютной устойчивости [2, 4, 5], управления и адаптации (см., напр., [6]).