Чебышева многочлены

первого рода - многочлены, ортогональные на отрезке [-1, 1] с весовой функцией [img: http://localhost:8080/file/052502-81.jpg] Для стандартизованных Ч. м. справедливы формула [img: http://localhost:8080/file/052502-82.jpg] и рекуррентное соотношение [img: http://localhost:8080/file/052502-83.jpg] с помощью к-рых находят последовательно T0 (x) = 1, T1(x) = x, Т2 (х)=2х 2-1, T3(x) = 4x3 - З х, T4(x) = 8x4 - 8x2 + 1, Т 5 (х)= 16x5 - 20x3 + 5 х,.... Ортонормированные Ч. м.: [img: http://localhost:8080/file/052502-84.jpg] Старший коэффициент многочлена Т n (х) при [img: http://localhost:8080/file/052502-85.jpg] равен 2n-1. Поэтому Ч. п. с единичным старшим коэффициентом определяются формулой [img: http://localhost:8080/file/052502-86.jpg] Нули многочлена Т п(x), определяемые равенством [img: http://localhost:8080/file/052502-87.jpg] часто применяются в качество узлов интерполяционных и квадратурных формул. Многочлен Т п (х)является решением дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/052502-88.jpg] Многочлен [img: http://localhost:8080/file/052502-89.jpg] наименее отклоняется от нуля на отрезке [-1, 1], т. е. для всякого другого многочлена [img: http://localhost:8080/file/052502-90.jpg] степени пс единичным старшим коэффициентом выполняется условие [img: http://localhost:8080/file/052502-91.jpg] С другой стороны, для всякого многочлена Qn(x) степени не выше и, удовлетворяющего условию [img: http://localhost:8080/file/052502-92.jpg] при любом [img: http://localhost:8080/file/052502-93.jpg] имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/052502-94.jpg] Если функция f(x)непрерывна на отрезке [-1, 1] и ее модуль непрерывности [img: http://localhost:8080/file/052502-95.jpg] удовлетворяет условию Дини [img: http://localhost:8080/file/052502-96.jpg] то эта функция разлагается в ряд Фурье - Чебышева [img: http://localhost:8080/file/052502-97.jpg] сходящийся равномерно на отрезке [-1, 1]. Коэффициенты этого ряда определяются по формуле [img: http://localhost:8080/file/052502-98.jpg] Если же функция f(х)непрерывно дифференцируема рраз на отрезке [-1, 1], причем ее р-я производная f (Р) (х) удовлетворяет условию Липшица порядка [img: http://localhost:8080/file/052502-99.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/052502-100.jpg] то имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/052502-101.jpg] где постоянная с 1 не зависит от пи х. Ч. м. второго рода определяются равенством [img: http://localhost:8080/file/052502-102.jpg] Эти многочлены ортогональны на отрезке [-1, 1] с весовой функцией [img: http://localhost:8080/file/052502-103.jpg] Для всякого многочлена [img: http://localhost:8080/file/052502-104.jpg] с единичным старшим коэффициентом справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/052502-105.jpg] Ч. м. были введены в 1854 П. Л. Чебышевым (см. [1]). Обе системы Ч. м. являются частными случаями ультрасферических многочленов и Якоба многочленов.