Чебышева уравнение

- линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/052503-29.jpg] или, в самосопряженной форме, [img: http://localhost:8080/file/052503-30.jpg] здесь а - константа. Ч. у. представляет собой частный случай гипергеометрического уравнения. Точки х=-1 и х=1 являются регулярными особыми точками Ч. у. Замены независимой переменной t= arccos. при | х|< 1, t = Arch |.| при |.| > 1 приводят это уравнение соответственно к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/052503-31.jpg] так что Ч. у, интегрируется в замкнутой форме. Фундаментальная система решений Ч. у. на интервале - 1<х<1 при а=n2, где п - натуральное число, состоит из Чебышева многочлена(1-го рода) степени n Т п (х) = cos (narccos х), и функции Un(x)=sin(narccos x), связанной с многочленами Чебышева 2-го рода. Многочлен Т n (х) служит действительным решением Ч. у. с а=n2 и на всей действительной оси. Ч. у. изучалось также в комплексной области. Н. X. Розов.