Шаудера метод

- метод решения краевых задач для линейных равномерно эллиптических уравнений 2-го порядка, в основе к-рого лежат априорные оценки и метод продолжения по параметру. Ш. м. решения Дирихле задачи для линейного равномерно эллиптического уравнения [img: http://localhost:8080/file/052601-16.jpg] заданного в ограниченной области [img: http://localhost:8080/file/052601-17.jpg] евклидова пространства точек x=(x1, x2,..., х п)и с коэффициентом [img: http://localhost:8080/file/052601-18.jpg] описывается следующим образом. 1. Вводятся пространства [img: http://localhost:8080/file/052601-19.jpg] как множества функций u=и(x)с конечными нормами [img: http://localhost:8080/file/052601-20.jpg] 2. Предполагается, что граница s области [img: http://localhost:8080/file/052601-21.jpg] принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/052601-22.jpg] т. е. каждый элемент [img: http://localhost:8080/file/052601-23.jpg] -мерной поверхности [img: http://localhost:8080/file/052601-24.jpg] может быть отображен на часть плоскости с помощью преобразования координат у=у (х)с положительным якобианом, причем функция [img: http://localhost:8080/file/052601-25.jpg] 3. Доказывается, что если коэффициенты уравнения (1) принадлежат пространству [img: http://localhost:8080/file/052601-26.jpg] и функция [img: http://localhost:8080/file/052601-27.jpg] то справедлива априорная оценка вплоть до границы [img: http://localhost:8080/file/052601-28.jpg] где постоянная Сзависит только от [img: http://localhost:8080/file/052601-29.jpg] постоянной эллиптичности [img: http://localhost:8080/file/052601-30.jpg] и норм коэффициентов оператора L, а [img: http://localhost:8080/file/052601-31.jpg] 4. Считается известным метод доказательства существования решения [img: http://localhost:8080/file/052601-32.jpg] задачи Дирихле [img: http://localhost:8080/file/052601-33.jpg] для оператора Лапласа [img: http://localhost:8080/file/052601-34.jpg] 5. Не нарушая общности, полагается [img: http://localhost:8080/file/052601-35.jpg] и затем реализуется метод продолжения по параметру, сущность к-рого состоит в том, что: [img: http://localhost:8080/file/052601-36.jpg] Оператор Lвкладывается в однонараметрическое семейство операторов [img: http://localhost:8080/file/052601-37.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052601-38.jpg] Существенно опираясь на априорную оценку (2), устанавливается, что множество Ттех значений параметра [img: http://localhost:8080/file/052601-39.jpg] для к-рых задача Дирихле [img: http://localhost:8080/file/052601-40.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052601-41.jpg] имеет решение [img: http://localhost:8080/file/052601-42.jpg] при любых [img: http://localhost:8080/file/052601-43.jpg] является одновременно открытым и, стало быть, совпадает с единичным отрезком [0, 1]. 6. Доказывается, что если D - ограниченная область, содержащаяся в [img: http://localhost:8080/file/052601-44.jpg] вместе со своим замыканием, то для любой функции [img: http://localhost:8080/file/052601-45.jpg] и каждой компактной подобласти [img: http://localhost:8080/file/052601-46.jpg] справедлива внутренняя априорная оценка: [img: http://localhost:8080/file/052601-47.jpg] 7. Равномерно аппроксимируя заданные функции [img: http://localhost:8080/file/052601-48.jpg] и f с помощью функций из класса [img: http://localhost:8080/file/052601-49.jpg] и применяя оценку (3). показывается существование решения задачи Дирихле для любой непрерывной граничной функции и широкого класса областей с негладкими границами, напр, для областей, представимых как объединение последовательностей областей [img: http://localhost:8080/file/052601-50.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052601-51.jpg] границы к-рых имеют такую же гладкость, что и [img: http://localhost:8080/file/052601-52.jpg] Оценки 2 и 3 получены впервые Ю. Шаудером (см. [1],[2])и носят его имя. Оценки Шаудера и его метод обобщены на уравнения и системы высшего порядка. Соответствующие им как внутренние, так и вплоть до границы, априорные оценки иногда наз. оценками шаудеровского типа. Дальнейшим развитием Ш. м. является метод априорных оценок.