Шварца альтернирующий метод

один из общих методов решения Дирихле задачи, позволяющий получить решение задачи Дирихле для дифференциального уравнения эллиптич. типа в областях D, представимых в виде объединения конечного числа областей Di, для к-рых решение задачи Дирихле уже известно. Работы Г. Шварца (1869; см. [1]) и ряд последующих работ других авторов были посвящены Ш. а. м. решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в плоских областях. Сущность III. а. м. применительно к простейшему случаю уравнения Лапласа в объединении двух плоских областей заключается в следующем. Пусть Аи В - две области на плоскости, имеющие непустое пересечение и такие, что решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа для каждой из них известно; напр., если. и В - круги, то решение задачи Дирихле для каждого из них дается интегралом Пуассона. Пусть, далее, D - объединение областей. и В, для к-рого требуется найти решение задачи Дирихле (см. рис.). Через [img: http://localhost:8080/file/052601-54.jpg] обозначена граница области А, через [img: http://localhost:8080/file/052601-55.jpg] - части границы [img: http://localhost:8080/file/052601-56.jpg] попавшие в В(они входят в D). а через [img: http://localhost:8080/file/052601-57.jpg] - оставшиеся части, так что [img: http://localhost:8080/file/052601-58.jpg] Аналогично [img: http://localhost:8080/file/052601-59.jpg] - граница области В, [img: http://localhost:8080/file/052601-60.jpg] - ее части, попавшие в A (они тоже входят в D), [img: http://localhost:8080/file/052601-61.jpg] - оставшиеся части, то есть [img: http://localhost:8080/file/052601-62.jpg] Тогда граница [img: http://localhost:8080/file/052601-63.jpg] области Dможет быть представлена в виде [img: http://localhost:8080/file/052601-64.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052601-65.jpg] Пусть теперь на [img: http://localhost:8080/file/052601-66.jpg] задана непрерывная функция / и пусть требуется найти гармонич. функцию wв D, непрерывную в замкнутой области [img: http://localhost:8080/file/052601-67.jpg] и принимающую на [img: http://localhost:8080/file/052601-68.jpg] значения функции f. Сужение функции f на [img: http://localhost:8080/file/052601-69.jpg] продолжается непрерывно на всю границу [img: http://localhost:8080/file/052601-70.jpg] и для этих граничных значений находится решение u1 задачи Дирихле в А. Значения и 1 на [img: http://localhost:8080/file/052601-71.jpg] вместе со значениями f на [img: http://localhost:8080/file/052601-72.jpg] образуют теперь непрерывную функцию на [img: http://localhost:8080/file/052601-73.jpg] для к-рой находится решение v1 задачи Дирихле в В. Далее, решение и 2 задачи Дирихле в Астроится по значениям функции f на [img: http://localhost:8080/file/052601-74.jpg] и функции v1 на [img: http://localhost:8080/file/052601-75.jpg] и т. д. Искомая функция имеет вид [img: http://localhost:8080/file/052601-76.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052601-77.jpg] Применение ограниченных решений задачи Дирихле для кусочно непрерывных граничных данных позволяет полагать, не заботясь о непрерывном продолжении f, значения равными нулю на оставшихся частях границ. Метод, аналогичный Ш. а. м. (см. [2]), может быть применен к отысканию решения задачи Дирихле в пересечении двух областей Aи В, если ее решения для Аи Визвестны. Ш. а. м. используется и при решении краевых задач более общей природы для общих уравнений эллиптич. типа (в том числе и порядка выше второго), подчиненных нек-рым дополнительным условиям [3], причем также и в пространственных областях. Важное значение имеет Ш. а. м. для построения гармонич. функций различного вида (с наперед заданными особенностями) на римановых поверхностях [4].