Шварца интеграл

-зависящий от параметра интеграл, дающий решение задачи Шварца о выражении аналитич. ции f(z)=u(z)+iv(z)в круге Dпо граничным значениям ее действительной (или мнимой) части ина граничной окружности. (см. [1]). Пусть на единичной окружности [img: http://localhost:8080/file/052601-84.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052601-85.jpg] дана непрерывная действительная функция и(j). Тогда интегральные формулы Шварца, выражающие аналитич. цию f(z)=u(z)+iv(z). граничные значения действительной части к-рой совпадают с [img: http://localhost:8080/file/052601-86.jpg] (или граничные значения мнимой части совпадают с [img: http://localhost:8080/file/052601-87.jpg] имеют вид [img: http://localhost:8080/file/052601-88.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052601-89.jpg] си с 1 -произвольные действительные постоянные. Ш. и. (*) тесно связан с Пуассона интегралом. Выражение [img: http://localhost:8080/file/052601-90.jpg] часто наз. ядром Шварца, а интегральный оператор S, фигурирующий в первой формуле (*),- оператором Шварца. Эти понятия обобщаются и на области произвольного вида комплексной плоскости (см. [3]). III. и. и его обобщения играют важную роль при решении граничных задач теории аналитических функций (см. также [3]) и исследовании граничных свойств аналитических функций (см. также [4]). При применении интегральных формул (*) возникает важный и более трудный вопрос о существовании и выражении граничных значений мнимой части v(z)и всей функции f(z) по данным граничным значениям действительной части [img: http://localhost:8080/file/052601-91.jpg] (или граничных значений действительности части и(z)и всей функции f(z) по данным граничным значениям мнимой части [img: http://localhost:8080/file/052601-92.jpg] Если данные функции [img: http://localhost:8080/file/052601-93.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/052601-94.jpg] удовлетворяют на С Гёлъдера условию, то соответствующие граничные значения [img: http://localhost:8080/file/052601-95.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/052601-96.jpg] выражаются формулами Гильберта [img: http://localhost:8080/file/052601-97.jpg] причем входящие в эти формулы интегралы являются сингулярными и существуют в смысле главного значения по Коши (см. [3]).