Штрафных функций метод

метод сведения условно-экстремальных задач к задачам безусловной оптимизации. Проиллюстрировать Ш. ф. м. можно на примере задач математического программирования. Рассматривается задача минимизации функции [img: http://localhost:8080/file/052604-43.jpg] на множестве [img: http://localhost:8080/file/052604-44.jpg] из п-мер-ного евклидова пространства. Штрафной функцией, или штрафом (за нарушение ограничений [img: http://localhost:8080/file/052604-45.jpg] i - 1, 2,..., т), наз. функция [img: http://localhost:8080/file/052604-46.jpg] зависящая от хи числового параметра [img: http://localhost:8080/file/052604-47.jpg] обладающая следующими свойствами: [img: http://localhost:8080/file/052604-48.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/052604-49.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052604-50.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052604-51.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/052604-52.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/052604-53.jpg] является любой точкой безусловного глобального минимума функции. [img: http://localhost:8080/file/052604-54.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052604-55.jpg] а X*- множеством решений исходной задачи. Функцию [img: http://localhost:8080/file/052604-56.jpg] выбирают таким образом, чтобы расстояние между точками [img: http://localhost:8080/file/052604-57.jpg] и множеством X* стремилось к нулю при [img: http://localhost:8080/file/052604-58.jpg] либо, если это не удается гарантировать, чтобы выполнялось соотношение [img: http://localhost:8080/file/052604-59.jpg] В качестве [img: http://localhost:8080/file/052604-60.jpg] часто выбирают функцию [img: http://localhost:8080/file/052604-61.jpg] Выбор конкретного вида функции [img: http://localhost:8080/file/052604-62.jpg] связан как с проблемой сходимости Ш. ф. м., так и с проблемами, возникающими при решении задачи безусловной минимизации функции [img: http://localhost:8080/file/052604-63.jpg] В несколько более общей постановке Ш. ф. м. заключается в сведении задачи минимизации функции [img: http://localhost:8080/file/052604-64.jpg] на множестве Xк задаче минимизации нек-рой параметрич. функции [img: http://localhost:8080/file/052604-65.jpg] на множестве более простой структуры, с точки зрения эффективности применения численных методов минимизации, чем исходное множество X. Имеет место следующий весьма общий результат, иллюстрирующий универсальность Ш. ф. м. Пусть Uи V- рефлексивные банаховы пространства; R -расширенная действительная прямая; [img: http://localhost:8080/file/052604-66.jpg] -функция, определенная на Uсо значениями в R, слабо полунепрерывная снизу; fi, i= 1,2,..., т - функции, определенные на Uсо значениями в R, непрерывные в слабой топологии пространства U; hj, j= 1, 2,..., п- функции, определенные на. со значениями в V, непрерывные в слабых топологиях пространств. и V; множество [img: http://localhost:8080/file/052604-67.jpg] i = l, 2,..., т; hj(x) =0, [img: http://localhost:8080/file/052604-68.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052604-69.jpg] не пусто. Рассматривается задача отыскания таких [img: http://localhost:8080/file/052604-70.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/052604-71.jpg] Для функции [img: http://localhost:8080/file/052604-72.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052604-73.jpg] рассматривается задача отыскания таких i = l, 2,..., т, что [img: http://localhost:8080/file/052604-74.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052604-75.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/052604-76.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052604-77.jpg] то каждая слабо предельная точка произвольной последовательности [img: http://localhost:8080/file/052604-78.jpg] является решением задачи (*) т, кроме того, [img: http://localhost:8080/file/052604-79.jpg]