Штурма теорема

если [img: http://localhost:8080/file/052604-80.jpg] - ряд Штурма для отрезка [ а, b], а<b и w(x) - число перемен знака в ряде (*) в точке [img: http://localhost:8080/file/052604-81.jpg] (значения, равные нулю, не учитываются), то число различных корней функции f(x) на отрезке [ а, b] равно разности w(a) - w(b). Рядом Штурма наз. последовательность действительных функций (*), непрерывных на отрезке [ а,b]и имеющих на этом отрезке конечное число корней, и такая, что 1) [img: http://localhost:8080/file/052604-82.jpg] 2) [img: http://localhost:8080/file/052604-83.jpg] на [ а, b], 3) из fk(c)=0 для нек-рого k(0 < k< s) и данного сиз [ а, b]следует [img: http://localhost:8080/file/052604-84.jpg] 4) из f0 (с)=0 для данного с(а<с<b)следует, что для достаточно малого [img: http://localhost:8080/file/052604-85.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052604-86.jpg] Теорема доказана Ш. Штурмом [1], к-рый указал также следующий метод построения ряда Штурма для многочлена f(x) с действительными коэффициентами, не имеющего кратных корней: f0 (х)=f(x), f1(x)=f'(x)и, если уже построены многочлены f0(x),..., fk(x), то за fk+1(x)надо брать с обратным знаком остаток при делении fk-1(x)на fk(x). При этом fs(x)будет константой, отличной от нуля.