Штурма - Лиувилля задача

- задача, порожденная на конечном или бесконечном интервале (а, b) изменения переменной хуравнением [img: http://localhost:8080/file/052604-87.jpg] и нек-рыми граничными условиями, где р(х) и r(х) положительны, l(х)действительна, а [img: http://localhost:8080/file/052604-88.jpg] - комплексный параметр. Начало глубокому изучению этой задачи положили Ш. Штурм (Ch. Sturm) и Ж. Лиувилль (J. Liouville). Понятия и методы, зародившиеся в процессе изучения Ш.- Л. з., сыграли большую роль в развитии многих направлений математики и физики. Она была и остается постоянным источником новых идей и задач для спектральной теории операторов и смежных вопросов анализа. Особое значение приобрела она в последнее время после открытия связи с нек-рыми нелинейными эволюционными уравнениями математич. физики. Если р(х)дифференцируема, а р(х)r(х) - дифференцируема дважды, то уравнение (1) с помощью подстановки сводится к виду (см. [1]) [img: http://localhost:8080/file/052604-89.jpg] Принято различать регулярные и сингулярные задачи. Ш.- Л. з. для уравнения (2) наз. рeгулярной, если интервал (а, b) изменения переменной хконечен и если функция q(х)суммируема во всем интервале (а, b). Если же интервал (а, b)бесконечен или q (х)несуммируема (или и то и другое), то эта задача наз. сингулярной. Ниже рассматриваются в отдельности следующие случаи: 1) интервал (a, b) конечен, в этом случае, не нарушая общности, можно считать, что а=0и [img: http://localhost:8080/file/052604-90.jpg] 2) a = 0, [img: http://localhost:8080/file/052604-91.jpg] 3) [img: http://localhost:8080/file/052604-92.jpg] 1. Рассматривается задача, порожденная на сегменте [img: http://localhost:8080/file/052604-93.jpg] уравнением (2) и разделенными граничными условиями [img: http://localhost:8080/file/052604-94.jpg] где q(х) - действительная суммируемая на сегменте [img: http://localhost:8080/file/052604-95.jpg] функция, hи Н - произвольные конечные или бесконечные фиксированные действительные числа, [img: http://localhost:8080/file/052604-96.jpg] - комплексный параметр. Если [img: http://localhost:8080/file/052604-97.jpg], то первое (второе) условие в (3) заменяется условием у(0)=0 [img: http://localhost:8080/file/052604-98.jpg] Для определенности далее предполагается, что числа, участвующие в граничных условиях, конечны. Число [img: http://localhost:8080/file/052604-99.jpg] наз. собственным значением задачи (2), (3), если при [img: http://localhost:8080/file/052604-100.jpg] уравнение (2) имеет нетривиальное решение [img: http://localhost:8080/file/052604-101.jpg] удовлетворяющее граничным условиям (3); при этом функция у 0 (х) наз. собственной функцией, соответствующей собственному значению [img: http://localhost:8080/file/052604-102.jpg] Собственные значения граничной задачи (2), (3) действительны; каждому собственному значению соответствует единственная линейно независимая собственная функция (в силу действительности q(х) и чисел h, Нсобственные функции задачи (2), (3) можно выбрать действительными); собственные функции у 1 (х) и у 2 (х). соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, т. е. [img: http://localhost:8080/file/052604-103.jpg] Существует неограниченно возрастающая последовательность собственных значений [img: http://localhost:8080/file/052604-104.jpg] граничной задачи (2). (3); при этом собственная функция у n (х). соответствующая собственному значению [img: http://localhost:8080/file/052604-105.jpg] имеет ровно пнулей в интервале [img: http://localhost:8080/file/052604-106.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/052604-107.jpg] - пространство Соболева, состоящее из заданных на сегменте [img: http://localhost:8080/file/052604-108.jpg] комплекснозначных функций, к-рые имеют т-1 абсолютно непрерывных производных и производную порядка т, суммируемую на сегменте [img: http://localhost:8080/file/052604-109.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052604-110.jpg] то собственные значения [img: http://localhost:8080/file/052604-111.jpg] граничной задачи (2), (3) при больших n удовлетворяют асимптотич. равенству (см. [4]): [img: http://localhost:8080/file/052604-112.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052604-114.jpg] - независимые от пчисла, [img: http://localhost:8080/file/052604-113.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052604-115.jpg] не зависит от h, H и [img: http://localhost:8080/file/052604-116.jpg] Отсюда, в частности, следует, что если [img: http://localhost:8080/file/052604-117.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/052604-118.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052604-119.jpg] Поэтому ряд [img: http://localhost:8080/file/052604-120.jpg] сходится. Его сумма наз. регуляризованным следом задачи (2), (3) (см. [13]): [img: http://localhost:8080/file/052604-121.jpg] Пусть v0(x), v1(x),...- ортонормированные собственные функции задачи (2), (3), соответствующие собственным значениям [img: http://localhost:8080/file/052604-122.jpg] Для каждой функции [img: http://localhost:8080/file/052604-123.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052604-124.jpg] имеет место так наз. равенство Парсеваля [img: http://localhost:8080/file/052604-125.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052604-126.jpg] и справедлива формула разложения по собственным функциям [img: http://localhost:8080/file/052604-127.jpg] где ряд сходится в метрике пространства [img: http://localhost:8080/file/052604-128.jpg] Теоремы полноты и разложения для регулярной Ш.- Л. з. впервые доказаны В. А. Стекловым [14]. Если функция f(x) имеет вторую непрерывную производную и удовлетворяет граничным условиям (3), то справедливы следующие утверждения (см. (15]): а) ряд (4) сходится абсолютно и равномерно на сегменте [img: http://localhost:8080/file/052604-129.jpg] к функции f(x); б)один раз продифференцированный ряд (4) сходится абсолютно и равномерно на сегменте [img: http://localhost:8080/file/052604-130.jpg] к f'(x); в) в каждой точке, в к-рой f "(x) удовлетворяет какому-либо локальному условию разложения в ряд Фурье (напр., имеет ограниченную вариацию), дважды продифференцированный ряд (4) сходится к f"(x). Для любой функции [img: http://localhost:8080/file/052604-131.jpg] ряд (4) является равномерно равносходящнмся с рядом Фурье функции f(x) по cos nx, т. е. [img: http://localhost:8080/file/052604-132.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052604-133.jpg] Это утверждение означает, что разложение функции f(x)по собственным функциям граничной задачи (2), (3) сходится при тех же условиях, что и разложение f(х)в ряд Фурье по косинусам (см. [1], [4]). 2. Рассматривается дифференциальное уравнение (2) на полуоси [img: http://localhost:8080/file/052604-134.jpg] с граничным условием в нуле: [img: http://localhost:8080/file/052604-135.jpg] Функция q(x)предполагается действительной и суммируемой в каждом конечном подинтервале интервала [img: http://localhost:8080/file/052604-136.jpg] а число hдействительным. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052604-137.jpg] - решение уравнения (2) с начальными условиями y(0) = 1, y'(0)=h (так что [img: http://localhost:8080/file/052604-138.jpg] удовлетворяет и граничному условию (5)). Пусть f(x) -любая функция из [img: http://localhost:8080/file/052604-139.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052604-140.jpg] где b- произвольное конечное положительное число. Для каждой функции q(х) икаждого числа hсуществует, по крайней мере, одна, не зависящая от f(x), неубывающая функция [img: http://localhost:8080/file/052604-141.jpg] обладающая следующими свойствами: а) существует функция [img: http://localhost:8080/file/052604-142.jpg] являющаяся пределом [img: http://localhost:8080/file/052604-143.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052604-144.jpg] в метрике [img: http://localhost:8080/file/052604-145.jpg] (пространства [img: http://localhost:8080/file/052604-146.jpg] -измеримых функций [img: http://localhost:8080/file/052604-147.jpg] для к-рых [img: http://localhost:8080/file/052604-148.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/052604-149.jpg] б) имеет место равенство Парсеваля [img: http://localhost:8080/file/052604-150.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/052604-151.jpg] наз. спектральной функцией (или спектральной плотностью) граничной задачи (2), (5) (см. [9] - [11]). Для спектральной функции [img: http://localhost:8080/file/052604-152.jpg] задачи (2), (5) справедлива асимптотич. формула (см. [16]) (в уточненном виде см. [17]): [img: http://localhost:8080/file/052604-153.jpg] Справедлива следующая теорема равносходимости: для произвольной функции [img: http://localhost:8080/file/052604-154.jpg] пусть [img: http://localhost:8080/file/052604-155.jpg] (интегралы сходятся в метриках пространств [img: http://localhost:8080/file/052604-156.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052604-157.jpg] соответственно); тогда при каждом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/052604-158.jpg] сходится интеграл [img: http://localhost:8080/file/052604-159.jpg] абсолютно и равномерно относительно [img: http://localhost:8080/file/052604-161.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052604-160.jpg] Пусть задача (2), (5) имеет дискретный спектр, т. е. ее спектр состоит из счетного числа собственных значений [img: http://localhost:8080/file/052604-162.jpg] с единственной предельной точкой в бесконечности. При определенных условиях на функцию q(х)для функции [img: http://localhost:8080/file/052604-163.jpg] т. e. числа собственных значений, меньших [img: http://localhost:8080/file/052604-164.jpg] справедлива асимптотич. формула: [img: http://localhost:8080/file/052604-165.jpg] Наряду с решением [img: http://localhost:8080/file/052604-166.jpg] вводится второе решение [img: http://localhost:8080/file/052604-167.jpg] уравнения (2), удовлетворяющее условиям [img: http://localhost:8080/file/052604-168.jpg] так что [img: http://localhost:8080/file/052604-169.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052604-170.jpg] образуют фундаментальную систему решений уравнения (2). При фиксированных числах [img: http://localhost:8080/file/052604-171.jpg] и b>0 рассматривается дробно-линейная функция [img: http://localhost:8080/file/052604-172.jpg] Когда независимая переменная tпробегает действительную ось, точка [img: http://localhost:8080/file/052604-173.jpg] описывает нек-рую окружность, ограничивающую круг [img: http://localhost:8080/file/052604-174.jpg] Он всегда лежит в той же полуплоскости (нижней или верхней), что и [img: http://localhost:8080/file/052604-175.jpg] С увеличением bкруг [img: http://localhost:8080/file/052604-176.jpg] сжимается, т. е. при b<b' круг [img: http://localhost:8080/file/052604-177.jpg] лежит целиком внутри круга [img: http://localhost:8080/file/052604-178.jpg] Существует (при [img: http://localhost:8080/file/052604-179.jpg] предельный круг или точка [img: http://localhost:8080/file/052604-180.jpg] при этом если [img: http://localhost:8080/file/052604-181.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/052604-182.jpg] будет кругом, и точкой - в противном случае (см. [10]). Если условие (6) выполняется для одного какого-либо недействительного значения [img: http://localhost:8080/file/052604-183.jpg] то оно выполняется для всех значений [img: http://localhost:8080/file/052604-184.jpg] В случае продельного круга для всех значений [img: http://localhost:8080/file/052604-185.jpg] все решения уравнения (2) принадлежат пространству [img: http://localhost:8080/file/052604-186.jpg] а в случае предельной точки для каждого недействительного значения [img: http://localhost:8080/file/052604-187.jpg] это уравнение имеет решение вида [img: http://localhost:8080/file/052604-188.jpg] принадлежащее [img: http://localhost:8080/file/052604-189.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052604-190.jpg] - предельная точка [img: http://localhost:8080/file/052604-191.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052604-192.jpg] где с - нек-рая положительная постоянная, то имеет место случай предельной точки (см. [19]), более общие результаты см. [20], [21]. 3. Рассматривается теперь уравнение (2) на всей оси [img: http://localhost:8080/file/052604-193.jpg] при предположении, что q(x)действительная суммируемая в каждом конечном подинтервале из [img: http://localhost:8080/file/052604-194.jpg] функция. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052604-195.jpg] - решения уравнения (2), удовлетворяющие условиям [img: http://localhost:8080/file/052604-196.jpg] Существует, по крайней мере, одна действительная симметрическая неубывающая матрица-функция [img: http://localhost:8080/file/052604-197.jpg] обладающая следующими свойствами: а) для любой функции [img: http://localhost:8080/file/052604-198.jpg] существуют функции [img: http://localhost:8080/file/052604-200.jpg] j=1,2, определенные равенствами [img: http://localhost:8080/file/052604-199.jpg] где предел - по метрике пространства [img: http://localhost:8080/file/052604-201.jpg] б) имеет место равенство Парсеваля [img: http://localhost:8080/file/052604-202.jpg]