Штурма - лиувилля уравнение

обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка вида [img: http://localhost:8080/file/052605-80.jpg] рассматриваемое на конечном или бесконечном интервале (а, b)изменения переменном х, где р(х), l (х), r (х) - заданные коэффициенты, [img: http://localhost:8080/file/052605-81.jpg] - комплексный параметр, a у - искомое решение. Если р(x),r (х) положительны и р(х)имеет первую производную, а р(х)r(х) - вторую производную, то с помощью подстановки Лиувилля (см. [1]) это уравнение сводится к стандартному виду [img: http://localhost:8080/file/052605-82.jpg] Предполагается, что комплексная функция q(x) измерима в интервале (а, b) и суммируема в каждом его внутреннем подинтервале. Наряду с уравнением рассматривается также неоднородное уравнение [img: http://localhost:8080/file/052605-83.jpg] где f(x) - заданная функция. Если функция f(x)измерима в интервале (а, b) и суммируема в каждом его внутреннем подинтервале, то каковы бы ни были комплексные числа с 0, с 1 и какова бы ни была внутренняя точка х 0 интервала (а, b), уравнение (2) имеет в интервале (а, b) одно и только одно решение [img: http://localhost:8080/file/052605-84.jpg] удовлетворяющее условиям [img: http://localhost:8080/file/052605-85.jpg] Для каждого [img: http://localhost:8080/file/052605-86.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/052605-87.jpg] является целой аналитич. цией [img: http://localhost:8080/file/052605-88.jpg] В качестве точки х 0 можно взять также и конечный конец интервала (а, b)(если этот конец регулярен). Пусть [img: http://localhost:8080/file/052605-89.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052605-90.jpg] - какие-нибудь два решения уравнения (1). Их вронскиан [img: http://localhost:8080/file/052605-91.jpg] не зависит от хи равен нулю тогда и только тогда, когда эти решения линейно зависимы. Общее решение уравнения (2) представляется в виде [img: http://localhost:8080/file/052605-92.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052605-93.jpg] а 1, а 2 - произвольные постоянные, a [img: http://localhost:8080/file/052605-94.jpg] - линейно независимые решения уравнения (1). Справедлива следующая фундаментальная теорема Штурма (см. [1]): пусть даны два уравнения. [img: http://localhost:8080/file/052605-95.jpg] если q1(x), q2 (х) действительны и q1(x)<q2(x)во всем интервале (а, b), то между каждыми двумя нулями любого нетривиального решения первого уравнения заключен, по крайней мере, один нуль каждого решения второго уравнения. Следующая теорема известна под названием теоремы сравнения (см. [1]): пусть левый конец интервала (a, b) конечен и и(х)есть решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям [img: http://localhost:8080/file/052605-96.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052605-97.jpg] а v(x) - решение уравнения (4) с теми же условиями; кроме того, пусть q1(x)<q2(x)во всем интервале (а, b); тогда если и(х)в интервале (а,b) имеет тнулей, то v(x)втом же интервале имеет не меньше m нулей и k-й нуль v(х)меньше k- гонуля и(х). Одним из важных свойств уравнения (1) является существование для него так наз. операторов преобразования, имеющих простую структуру. Операторы преобразования возникли из общих алгебраич. соображений, связанных с теорией операторов обобщенного сдвига (преобразование базиса). Для уравнения (1) существуют следующие типы операторов преобразования. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052605-98.jpg] - решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/052605-99.jpg] удовлетворяющее условиям [img: http://localhost:8080/file/052605-100.jpg] Оказывается, что это решение допускает представление [img: http://localhost:8080/file/052605-101.jpg] где К(х,t) - непрерывная не зависящая от [img: http://localhost:8080/file/052605-102.jpg] функция. причем [img: http://localhost:8080/file/052605-103.jpg] Интегральный оператор I+ К, определенный формулой [img: http://localhost:8080/file/052605-104.jpg] наз. оператором преобразования, сохраняющим условия в точке х=0. Он переводит функцию [img: http://localhost:8080/file/052605-105.jpg] (решение простейшего уравнения - [img: http://localhost:8080/file/052605-106.jpg] при условиях (6)) в решение уравнения (5) при тех же данных в точке х=0. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052605-107.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052605-108.jpg] - решения уравнения (5), удовлетворяющие условиям [img: http://localhost:8080/file/052605-109.jpg] Эти решения допускают представления [img: http://localhost:8080/file/052605-110.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052605-111.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052605-112.jpg] - непрерывные функции. Введен (см.[8]|) новый вид операторов преобразования, сохраняющих асимптотику решений на бесконечности, а именно, оказалось, что для всех [img: http://localhost:8080/file/052605-113.jpg] из верхней полуплоскости [img: http://localhost:8080/file/052605-114.jpg] уравнение (5), рассматриваемое на полуоси [img: http://localhost:8080/file/052605-115.jpg] при выполнении условия [img: http://localhost:8080/file/052605-116.jpg] имеет решение [img: http://localhost:8080/file/052605-117.jpg] представимое в виде [img: http://localhost:8080/file/052605-118.jpg] где функция К(х, t)является непрерывной и удовлетворяет неравенству [img: http://localhost:8080/file/052605-119.jpg] в к-ром [img: http://localhost:8080/file/052605-120.jpg] Кроме того, [img: http://localhost:8080/file/052605-121.jpg]