Эйлера метод

- простейший конечно-разностный метод численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть дано дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/053101-82.jpg] с начальным условием y(x0) = y0. Выбирается достаточно малый шаг hпо оси х, строятся точки x;=x0+ih, i=0, 1, 2,..., и искомая интегральная кривая у(х)заменяется ломаной (ломаная Эйлера), звенья к-poй прямолинейны на отрезках [ х i, xi+1], а ординаты определяются по формулам [img: http://localhost:8080/file/053101-83.jpg] Если правая часть f(x, у)уравнения (1) непрерывна, то последовательность ломаных Эйлера при [img: http://localhost:8080/file/053101-84.jpg] на достаточно малом отрезке [img: http://localhost:8080/file/053101-85.jpg] равномерно стремится к искомой интегральной кривой у(х). Э. м. заключается в том, что интеграл дифференциального уравнения (1) на каждом последовательном отрезке [ х i, xi+1]представляется двумя членами ряда Тейлора [img: http://localhost:8080/file/053101-86.jpg] На каждом шаге Э. м. имеет погрешность порядка h2. Для уточнения Э. м. используются различные модификации. Напр., в усовершенствованном методе ломаных вместо формулы (2) для определения ординат используют формулу [img: http://localhost:8080/file/053101-87.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053101-88.jpg] то есть учитывают направление поля интегральных кривых в средней точке (4) звена ломаной. Другой модификацией Э. м. является усовершенствованный метод Эйлера - Коши: [img: http://localhost:8080/file/053101-89.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053101-90.jpg] Последний метод можно еще более уточнить, применив итерационную обработку каждого значения yi+1: [img: http://localhost:8080/file/053101-91.jpg] где нулевое приближение [img: http://localhost:8080/file/053101-92.jpg] Итерационный расчет по формуле (б) продолжают до тех пор, пока два последовательных приближения [img: http://localhost:8080/file/053101-93.jpg] не совпадут между собой в заданном числе десятичных знаков. Если после трех - четырех итераций совпадение требуемого числа десятичных знаков не достигается, то это указывает на необходимость уменьшения шага h. Э. м. с итерационной обработкой ординат дает на каждом шаге погрешность порядка h3. Э. м. и его модификации переносятся на более общий случай решения системы и обыкновенных дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/053101-94.jpg] при заданных начальных условиях [img: http://localhost:8080/file/053101-95.jpg] Алгоритм вычислений по Э. м. легко программируется и удобен для реализации на ЭВМ. Метод предложен Л. Эйлером (L. Euler, 1768).