Экспоненциальная топология

слабейшая топология на множестве ехр Х=2 Х всех замкнутых подмножеств тонологич. пространства X, в к-рой множества ехр. открыты (в ехр X)для открытых Аи замкнуты (в ехр X) для замкнутых А. Если [img: http://localhost:8080/file/053104-45.jpg] то через ехр Aобозначается множество всех замкнутых подмножеств множества А. Пример. Топология метрич. пространства замкнутых ограниченных подмножеств метрич. пространства, наделенное Хаусдорфова метрикой. Общее определение: пусть U1,..., Un - произвольный конечный набор непустых открытых в Xмножеств; базу Э. т. образуют множества вида [img: http://localhost:8080/file/053104-46.jpg] где Fобозначает точку ехр X, соответствующую данному замкнутому множеству [img: http://localhost:8080/file/053104-47.jpg] Пространство ехр Х, наделенное Э. т., наз. экспонентой пространства X. Если Xесть Т 1 -пространство, то ехр Xтакже Т 1 -пространство. Если Xрегулярно, то ехр. хаусдорфово. Если Xнормально, то ехр Xвполне ре гулярно. Для Э. т. нормальность эквивалентна ее бикомпактности. Если пространство Xбикомпактно, то ехр Xтакже бикомпактно. Если X - диадический бикомпакт и вес Xне превосходит [img: http://localhost:8080/file/053104-48.jpg] то ехр X - также диадический бикомпакт. С другой стороны, экспонента любого бикомпакта, вес к-рого больше или равен [img: http://localhost:8080/file/053104-49.jpg] не является диадическим бикомпактом. Экспонента континуума Пеано является абсолютным ретрактом в классе метрич. компактов и, следовательно, непрерывным образом отрезка. Однако экспонента несчетного виса не является непрерывным образом тихоновского куба [img: http://localhost:8080/file/053104-50.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/053104-51.jpg] - замкнутое отображение пространства Xна пространство Y. Отображение ехр [img: http://localhost:8080/file/053104-52.jpg] действующее по правилу [img: http://localhost:8080/file/053104-53.jpg] наз. экспонентой отображения. Если [img: http://localhost:8080/file/053104-54.jpg] - непрерывное отображение бикомпакта Xна бикомпакт Y, то оно открыто тогда и только тогда, когда открыто отображение ехр f. Функтор ехр X, действующий из категории бикомпактов и непрерывных отображений в ту же самую категорию, является ковариантным функтором экспоненциального типа, если морфизму ставится экспонента этого морфизма ехр f.