Экспоненциальное отображение

отображение касательного пространства многообразия Мв М, определяемое заданной на М связностью и являющееся далеко идущим обобщением обычной экспоненциальной функции, рассматриваемой как отображение прямой в себя. 1) Пусть М - многообразие класса [img: http://localhost:8080/file/053104-63.jpg] с аффинной связностью, р - нек-рая точка из М, М р - касательное пространство к многообразию Мв точке ри X - ненулевой вектор из [img: http://localhost:8080/file/053104-64.jpg] - геодезическая, проходящая через точку р в направлении вектора X. Существует такая открытая окрестность N0 точки 0 в М р и такая открытая окрестность N р точки рв М, что отображение [img: http://localhost:8080/file/053104-65.jpg] является диффеоморфизмом N0 на N р. Это отображение называется Э. о. в точке р и обозначается Ехр. Окрестность N0 наз. нормальной, если: 1) отображение Ехр диффеоморфно отображает N0 на N р,2) если [img: http://localhost:8080/file/053104-66.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053104-67.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/053104-68.jpg] В этом случае N р - нормальная окрестность точки. в многообразии М. Каждая точка [img: http://localhost:8080/file/053104-69.jpg] обладает выпуклой нормальной окрестностью N р точки р: любые две точки такой окрестности можно соединить в точности одним геодезич. отрезком, содержащимся в N р. Если М - полное риманово многообразие, то Ехр есть сюръективное отображение М р на М. 2)Пусть G- группа Ли с единицей еи g - соответствующая алгебра Ли, состоящая из касательных векторов к G в точке е. Для каждого вектора [img: http://localhost:8080/file/053104-70.jpg] существует единственный аналитич. омоморфизм [img: http://localhost:8080/file/053104-71.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/053104-72.jpg] в Gтакой, что касательный вектор к [img: http://localhost:8080/file/053104-73.jpg] в точке есовпадает с X. Отображение [img: http://localhost:8080/file/053104-74.jpg] и наз. Э. о. алгебры gв группу G. Существует такая открытая окрестность N0 точки 0 в gи такая открытая окрестность N е точки ев G, что ехр является аналитич. диффеоморфизмом окрестности N0 на Ne. Пусть Х 1,..., Х п - нек-рый базис алгебры g. Отображение [img: http://localhost:8080/file/053104-75.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053104-76.jpg] есть система координат на Ne, эти координаты наз. каноническими. К понятию Э. о. для группы Ли G можно подойти и с другой точки зрения. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех аффинных связностей на G, инвариантных относительно группы левых сдвигов, и множеством билинейных функций [img: http://localhost:8080/file/053104-77.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053104-78.jpg] Оказывается, что Э. о. ехр алгебры gв группу G совпадают с отображением Ехр касательного пространства gк многообразию. в точке ев это многообразие относительно лсвоинвариантной аффинной связности, отвечающей любой кососимметричной билинейной функции [img: http://localhost:8080/file/053104-79.jpg]