Экстремальные задачи

численные методы решения - методы вычислительной математики, применяемые для поиска экстремумов (максимумов или минимумов) функций и функционалов. Для численного решения экстремальных задач, рассматриваемых в бесконечномерных функциональных пространствах (напр., задач оптимального управления процессами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями или уравнениями с частными производными) могут быть использованы после соответствующего обобщения многие методы математич. программирования, разработанные для задач минимизации или максимизации функций конечного числа неременных. При этом в конкретных задачах весьма важен правильный выбор подходящего функционального пространства, в к-ром следует ее рассматривать. При выборе такого пространства обычно учитываются физич. соображения, свойства допустимых управлений, свойства решений соответствующих начально-краевых задач при фиксированном управлении и т. п. Напр., задачу оптимального управления, заключающуюся в минимизации функционала [img: http://localhost:8080/file/053105-4.jpg] при условиях [img: http://localhost:8080/file/053105-5.jpg] часто бывает удобнорассматривать вфункциональном пространстве [img: http://localhost:8080/file/053105-6.jpg] Здесь х=(x1,... х n), и=(u1,..., ur), f=(f1,..., fn), fi(x, и, t), i=0, 1,..., n, F (х) - заданные функции; t0, Т- известные моменты времени, t0<T; х0 - заданная начальная точка; V(t)при каждом [img: http://localhost:8080/file/053105-7.jpg] - заданное множество из евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/053105-8.jpg] - гильбертово пространство r-мерных вектор-функций [img: http://localhost:8080/file/053105-9.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053105-10.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053105-11.jpg] - функция, интегрируемая на [t0, Т] по Лебегу вместе со своим квадратом [img: http://localhost:8080/file/053105-12.jpg] причем скалярное произведение двух функций u(t), v(t), в этом пространстве равно [img: http://localhost:8080/file/053105-13.jpg] норма [img: http://localhost:8080/file/053105-14.jpg] При определенной гладкости функций f' (х, и, t), F(x)приращение функционала (1) можно представить в виде [img: http://localhost:8080/file/053105-15.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053105-16.jpg] x=x(f, u)- решение задачи (2) при u=u(t), [img: http://localhost:8080/file/053105-17.jpg] -решение сопряженной задачи [img: http://localhost:8080/file/053105-18.jpg] Из формулы (4) следует, чтр функционал (1) дифференцируем в пространстве [img: http://localhost:8080/file/053105-19.jpg] и его градиентом является вектор-функция [img: http://localhost:8080/file/053105-20.jpg] Таким образом, для решения задачи (1) - (3) могут быть применены различные методы, использующие градиент функционала. При V(t)=Er здесь можно применить градиентный метод [img: http://localhost:8080/file/053105-21.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/053105-22.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053105-23.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053105-24.jpg] - заданные функции из [img: http://localhost:8080/file/053105-25.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053105-26.jpg] то возможно применение метода проекции градиента [img: http://localhost:8080/file/053105-27.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053105-28.jpg] Параметр [img: http://localhost:8080/file/053105-29.jpg] может выбираться из условия [img: http://localhost:8080/file/053105-30.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053105-31.jpg] Аналогично могут быть расписаны для задачи (1)-(3) методы условного градиента, сопряженных градиентов и др. (см.[4]-[6],[11]). Еслизадача(1)-(3) рассматривается при дополнительных ограничениях [img: http://localhost:8080/file/053105-32.jpg] где G(t)- заданное множество из Е n, то для учета ограничений (9) может быть использован штрафных функций метод. Напр., если [img: http://localhost:8080/file/053105-33.jpg] то в качестве штрафной функции можно взять [img: http://localhost:8080/file/053105-34.jpg] и задачу (1)-(3), (9) заменить задачей минимизации функционала Ф k(u)=J(u)+AkP (и)при условиях (2), (3), где Ak, -штрафной коэффициент, [img: http://localhost:8080/file/053105-35.jpg] Другие методы решения задачи (1)-(3), (9) основаны на принципе максимума Понтрягина, на динамич. программировании (см. Понтрягина принцип максимума, Динамическое программирование, Вариационное исчисление;численные методы). Для решения задачи минимизации квадратичного функционала на решениях систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений или линейных уравнений с частными производными, может быть применен метод моментов (см. [3], [8]). Ниже описан этот метод применительно к задаче минимизации функционала [img: http://localhost:8080/file/053105-36.jpg] где х-=х(t; и) - решение задачи [img: http://localhost:8080/file/053105-37.jpg] управления [img: http://localhost:8080/file/053105-38.jpg] таковы, что [img: http://localhost:8080/file/053105-39.jpg] здесь A(t), B(t), f(t)-заданные матрицы порядка [img: http://localhost:8080/file/053105-40.jpg] соответственно, имеющие кусочно непрерывные элементы на отрезке [img: http://localhost:8080/file/053105-41.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053105-42.jpg] - заданные точки; [img: http://localhost:8080/file/053105-43.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053105-44.jpg] -скалярное произведение в Е т. Из правила множителей Лагранжа следует, что управление и=и(t)является оптимальным в задаче (10)-(12) тогда и только тогда, когда существует число [img: http://localhost:8080/file/053105-45.jpg] (Лагранжа множитель для ограничения (12)) такое, что [img: http://localhost:8080/file/053105-46.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/053105-47.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/053105-48.jpg] Из формул (5)-(8) следует, что градиент J'(u)функционала (10) в [img: http://localhost:8080/file/053105-50.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/053105-49.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053105-51.jpg] - решение задачи [img: http://localhost:8080/file/053105-52.jpg] А Т, В Т- матрицы, полученные транспонированием матриц А, В соответственно. Условие (13) тогда примет вид [img: http://localhost:8080/file/053105-53.jpg] Условие (16) равносильно соотношениям [img: http://localhost:8080/file/053105-54.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053105-55.jpg] р k(t) - решение системы (15) при условии pk(T)=ek=(0,...,0, 1, 0,..., 0) - единичный вектор. Таким образом, для определения оптимального управления u=u(t) в задаче (10)-(12) нужно решить систему (14), (15), (17), (18) относительно функций [img: http://localhost:8080/file/053105-56.jpg] и числа [img: http://localhost:8080/file/053105-59.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/053105-57.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/053105-58.jpg]. и условие (18) приведет к проблеме моментов (см. Моментов про6лема): найти функцию u-=u(t), зная ее моменты [img: http://localhost:8080/file/053105-60.jpg] по системе [img: http://localhost:8080/file/053105-61.jpg] k=1,...., n. Система (14), (15), (17), (18) представляет собой обобщенную проблему моментов для задачи (10) - (12) при [img: http://localhost:8080/file/053105-62.jpg] (см. [3], [8]). Любое решение [img: http://localhost:8080/file/053105-63.jpg] системы (15) однозначно представимо в виде [img: http://localhost:8080/file/053105-64.jpg] При любом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/053105-65.jpg] существует решение [img: http://localhost:8080/file/053105-66.jpg] системы (15), (17), (18), причем среди всех решений найдется единственное такое, что [img: http://localhost:8080/file/053105-67.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/053105-68.jpg] Для определения [img: http://localhost:8080/file/053105-69.jpg] нужно подставить выражения (19), (20) в (17), (18). В результате получится система линейных алгебраических уравнении относительно [img: http://localhost:8080/file/053105-70.jpg] u1,..., и n, из к-рой однозначно определяются величины [img: http://localhost:8080/file/053105-71.jpg] а величины u1,..., и n в случае линейной зависимости системы [img: http://localhost:8080/file/053105-72.jpg] определяются неоднозначно. При практич. решении задачи (10)-(12) целесообразно сначала положить [img: http://localhost:8080/file/053105-73.jpg] и из (18) определить u(t,0) вида (20). Затем следует проверить условие [img: http://localhost:8080/file/053105-74.jpg] Если это неравенство выполняется, то u(f,0) - оптимальное управление задачи (10)-(12), имеющее минимальную норму среди всех оптимальных управлений; множество всех оптимальных управлений в этом случае исчерпывается управлениями вида [img: http://localhost:8080/file/053105-75.jpg] где v(t)принадлежит ортогональному дополнению в [img: http://localhost:8080/file/053105-76.jpg] линейной оболочки систем функций [img: http://localhost:8080/file/053105-77.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/053105-78.jpg] то из (17), (18) при [img: http://localhost:8080/file/053105-79.jpg] определяют решения [img: http://localhost:8080/file/053105-80.jpg] вида (19), (20) и находят g из уравнения [img: http://localhost:8080/file/053105-81.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/053105-83.jpg] переменной [img: http://localhost:8080/file/053105-82.jpg] непрерывна, строго монотонно убывает при [img: http://localhost:8080/file/053105-84.jpg] поэтому из (21) однозначно определяется искомое [img: http://localhost:8080/file/053105-85.jpg] Управление [img: http://localhost:8080/file/053105-86.jpg] будет оптимальным для задачи (10)-(12); при [img: http://localhost:8080/file/053105-87.jpg] эта задача других оптимальных управлений не имеет. Метод моментов применим также для решения задачи быстродействия для систем (11) и других линейных систем (см. [3], [8]). Упомянутые выше методы широко используются и для численного решения задач оптимального управления процессами, описываемыми уравнениями с частными производными. Численная реализация многих методов решения задач оптимального управления предполагает использование тех или иных методов приближенного решения встречающихся начально-краевых задач (см. Краевая задача;численные методы решения для уравнений с частными производными), приближенного вычисления интегралов (см. Интегрирование численное). В результате исходная задача оптимального управления заменяется нек-рым семейством аппроксимирующих задач, зависящим от нек-рых параметров (напр., от шагов разностной сетки). Вопросы построения аппроксимирующих задач, исследование сходимости см. в [5]. Широкие классы экстремальных задач являются некорректно поставленными (см. Некорректные задачи)и для их решения нужно использовать регуляризации методы (см. [5], [13]).