Экстремальные свойства полиномов

свойства алгебраических, тригонометрических или обобщенных полиномов, к-рые выделяют их в качестве решений нек-рых экстремальных задач. Напр., Чебышева многочлены [img: http://localhost:8080/file/053105-88.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053105-89.jpg] имеют наименьшую норму в пространстве С([ -1, 1]) среди всех алгебраич. многочленов степени псо старшим коэффициентом, равным 2n-1 (П. Л. Чебышев, 1853) и, таким образом, являются решением следующей экстремальной задачи [img: http://localhost:8080/file/053105-90.jpg] Иначе говоря, многочлен Т n наименее уклоняется от нуля в пространстве С([-1, 1]) среди всех многочленов степени псо старшим коэффициентом, равным 2n-1. Экстремальные задачи на пространствах многочленов в значительной части исследуются в пространствах [img: http://localhost:8080/file/053105-91.jpg] При этом наиболее известные результаты связаны со случаями р=1, 2 и [img: http://localhost:8080/file/053105-92.jpg] (метрика С). В частности, в этих метриках решен вопрос о явном виде многочленов, наименее уклоняющихся от нуля. В метрике L1 - это многочлены Чебышева 2-го рода, в метрике L2 - Лежандра многочлены, о метрике Ссм. выше. Описано также множество классических ортогональных многочленов, являющихся многочленами наименее уклоняющимися от нуля в пространстве L2 с весом (Лагерра многочлены, Эрмита многочлены, Якоби многочлены и т. п.) Е. И. Золотарев (1877) рассмотрел вопрос о многочленах вида [img: http://localhost:8080/file/053105-93.jpg] (с двумя фиксированными старшими коэффициентами), наименее уклоняющихся от нуля в метрике С. Он нашел однопараметрич. семейство многочленов, решающих эту задачу, выразив их через эллпитич. функции. Многочлены Чебышева экстремальны в задаче о неравенстве для производных, а именно, имеет место следующее точное Маркова неравенство (где Pn - многочлен степени [img: http://localhost:8080/file/053105-94.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053105-95.jpg] в к-ром равенство достигается на Т п. Неравенство (*) для k=l доказал А. А. Марков (1889), для остальных k - В. А. Марков (1892). О подобном неравенстве для тригонометрия, полиномов см. Бернштейна неравенство. Нек-рые экстремальные свойства алгебраических и тригонометрических полиномов в равномерной метрике переносятся на чебышевские системы функций (см. [2]). О теории экстремальных задач и Э. с. п. см. [6].