Эксцессивная функция

для марковского процесса - аналог неотрицательной супергармонической функции. Пусть в измеримом пространстве [img: http://localhost:8080/file/053105-118.jpg] задана однородная марковская цепь с вероятностями перехода за один шаг [img: http://localhost:8080/file/053105-119.jpg] Измеримая относительно [img: http://localhost:8080/file/053105-120.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/053105-121.jpg] наз. эксцессивной функцией для этой цепи, если [img: http://localhost:8080/file/053105-122.jpg] всюду в Е. Для цепи с не более чем счетным множеством состояний среди Э. ф. есть отличные от констант тогда и только тогда, когда хоть одно из состояний невозвратно. При заданном в [img: http://localhost:8080/file/053105-123.jpg] однородном марковском процессе [img: http://localhost:8080/file/053105-124.jpg] с переходной функцией P(t,x, В)определение Э. [img: http://localhost:8080/file/053105-136.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053105-137.jpg] Для части винеровского процесса в нек-рой области [img: http://localhost:8080/file/053105-138.jpg] (см. Функционал от марковского процесса) совпадает с классом неотрицательных супергармонических в Ефункций, пополненным функцией [img: http://localhost:8080/file/053105-139.jpg] В случае стандартного процесса Xв локально компактном сепарабельном пространстве Е, для Э. ф. f(х) всюду в Евыполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/053105-140.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053105-141.jpg] -марковский момент, М х - математическое ожидание, отвечающее мере Р х, и где положено [img: http://localhost:8080/file/053105-142.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/053105-143.jpg] Другое часто используемое свойство Э. ф. состоит в том, что Р х - почти наверное случайная функция f (х t) непрерывна справа на интервале [img: http://localhost:8080/file/053105-144.jpg] (см. [3]). Э. ф. [img: http://localhost:8080/file/053105-145.jpg] наз. гармонической, если, как бы ни задавался компакт [img: http://localhost:8080/file/053105-146.jpg] выполняется [img: http://localhost:8080/file/053105-147.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053105-148.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053105-149.jpg] -момент первого выхода Xиз К. Потенциалом наз. любую Э. ф. [img: http://localhost:8080/file/053105-150.jpg] для к-рой [img: http://localhost:8080/file/053105-151.jpg] при любом выборе марковских моментов [img: http://localhost:8080/file/053105-152.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/053105-153.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/053105-154.jpg] Для части винеровского процесса в области [img: http://localhost:8080/file/053105-155.jpg] гармонич. функции и потенциалы, это, соответственно, неотрицательные в Егармонические в классич. смысле функции и потенциалы Грина борелевских мер, сосредоточенных в Е. Примером потенциала служит потенциал [img: http://localhost:8080/file/053105-156.jpg] аддитивного функционала [img: http://localhost:8080/file/053105-157.jpg] от X, если [img: http://localhost:8080/file/053105-158.jpg] Э. ф. [img: http://localhost:8080/file/053105-159.jpg] является потенциалом аддитивного функционала в том и только том случае, когда [img: http://localhost:8080/file/053105-160.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053105-161.jpg] - момент 1-го попадания в множество [img: http://localhost:8080/file/053105-162.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053105-163.jpg] В рамках аксиоматич. теории гармонич. пространств Брело все неотрицательные супергармонич. функции являются Э. ф. для нек-рого стандартного процесса. См. также Мартина граница, Ляпунова стохастическая функция.