Элемент аналитической функции

совокупность (D, f) области Dна плоскости комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/053106-1.jpg] и аналитич. ции f(z), заданной в Dпри помощи нек-рого аналитич. аппарата, позволяющего эффективно осуществить аналитич. родолжение f(z) во всю ее область существования как полной аналитической функции. Наиболее простой и чаще всего применяемой формой Э. а. ф. является круговой элемент в виде совокупности степенного ряда [img: http://localhost:8080/file/053106-2.jpg] и его круга сходимости [img: http://localhost:8080/file/053106-3.jpg] с центром а(центр элемента) и радиусом сходимости R>0. Аналитич. продолжение здесь достигается (быть может, многократным) переразложением ряда (1) для различных центров [img: http://localhost:8080/file/053106-4.jpg] по формулам вида [img: http://localhost:8080/file/053106-5.jpg] Любой из элементов (D, f) полной аналитич. ции определяет ее однозначно и может быть представлен посредством круговых элементов с центрами [img: http://localhost:8080/file/053106-6.jpg] В случае бесконечно удаленного центра [img: http://localhost:8080/file/053106-7.jpg] круговой элемент принимает вид [img: http://localhost:8080/file/053106-8.jpg] с областью сходимости [img: http://localhost:8080/file/053106-9.jpg] В процессе аналитич. родолжения функция f(z) может оказаться многозначной и могут появиться соответствующие алгебраическим точкам ветвления т. н. разветвленные элементы вида [img: http://localhost:8080/file/053106-10.jpg] где v>l, число v-1 наз. порядком разветвленности. Разветвленные элементы обобщают понятие Э. а, ф., последние в этой связи наа. также неразветвленными (при v=l) регулярными [img: http://localhost:8080/file/053106-11.jpg] элементами. В качестве простейшего элемента (D, f)аналитич. функции f(z) многих комплексных переменных [img: http://localhost:8080/file/053106-12.jpg] | [img: http://localhost:8080/file/053106-13.jpg] можно принять совокупность кратного степенного ряда [img: http://localhost:8080/file/053106-14.jpg] где a=(al,..., а n) - центр, [img: http://localhost:8080/file/053106-15.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053106-16.jpg] и нек-рого поликруга [img: http://localhost:8080/file/053106-17.jpg] в к-ром ряд (2) абсолютно сходится. Однако, при п> 1 следует иметь в виду, что поликруг не является точной областью абсолютной сходимости степенного ряди. Понятие Э. а. ф. весьма близко к понятию ростка аналитич. функции.