Эллиптического типа уравнение

численные методы решения - методы приближенного отыскания решений дифференциальных уравнений с частными производными эллиптич. типа. Среди различных классов задач, к-рые ставятся для Э. т. у., наиболее хорошо изучены краевые задачи и задачи с данными Коши. Последние поставлены некорректно и требуют для решения специальных методов [1]. Более типичны для Э. т. у. краевые задачи и для их приближенного решения разработано много различных численных методов (см. [2], [3]). Наиболее широкое распространение в вычислительной практике получили сеточные методы, а среди них - метод конечных разностей (см. Разностные методы,, Разностных схем теория,[4], [5])и метод конечных элементов (м. к. э.) (см. [6] - [9]). Хотя указанные методы и различаются подходом к построению приближенного решения - в первом из них аппроксимируются (см. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной)уравнение и граничные (краевые) условия, а во втором - само искомое решение, - однако получающиеся для отыскания приближенного решения алгебраич. системы близки по структуре, а в ряде случаев и вовсе совпадают. Суть метода конечных разностей состоит в следующем: область непрерывного изменения аргументов исходной задачи заменяется дискретным множеством точек (узлов), называемым сеткой; производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, аппроксимируются разностными отношениями; при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой алгебраич. уравнений (разностной схемой). Если полученная таким образом разностная краевая задача разрешима (быть может, только на достаточно мелкой сетке) и ее решение при безграничном измельчении сетки приближается (сходится) к решению исходной задачи для дифференциального уравнения, то полученное на любой фиксированной сетке решение разностной задачи и принимается за приближенное решение исходной задачи. Простейшим примером Э. т. у. является уравнение Пуассона (уравнение Лапласа, если [img: http://localhost:8080/file/053109-1.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053109-2.jpg] Примеры разностных схем для уравнения Пуассона приведены в статьях Краевая задача;численные методы решения для уравнений с частными производными и Разностное уравнение. В м. к. э. аппроксимируется обобщенное решение краевой задачи. Если, напр., уравнение (1) задано при [img: http://localhost:8080/file/053109-3.jpg] я для него рассматривается однородная задача Дирихле, т. е. [img: http://localhost:8080/file/053109-4.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053109-5.jpg] - граница [img: http://localhost:8080/file/053109-6.jpg] то обобщенным решением задачи (1), (2) наз. функция [img: http://localhost:8080/file/053109-7.jpg] к-рая при любой функции [img: http://localhost:8080/file/053109-8.jpg] удовлетворяет интегральному тождеству [img: http://localhost:8080/file/053109-9.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/053109-10.jpg] - Соболева пространство функций, обращающихся в нуль (в смысле обобщенных функций) на [img: http://localhost:8080/file/053109-11.jpg] Наиболее важный класс м. к. э. образуют м. к. э. галеркинского типа (конформные м. к. э.). В Галеркина методе приближенное решение ищется в конечномерном подпространстве того пространства, на к-ром задано интегральное тождество, определяющее обобщенное решение. Применительно к задаче (3) приближенным по Галеркину решением наз. такая функция [img: http://localhost:8080/file/053109-12.jpg] к-рая при любой функции [img: http://localhost:8080/file/053109-13.jpg] удовлетворяет интегральному тождеству (3). В м. к. э. подпространство [img: http://localhost:8080/file/053109-14.jpg] должно обладать нек-рыми специальными свойствами (см. Разностная вариационная схема). Специфику конечномерного подпространства, отличающую м. к. э. от других реализаций метода Галеркина, иллюстрирует следующий пример. Пусть область [img: http://localhost:8080/file/053109-15.jpg] в к-рой ищется решение задачи (1), (2), есть многоугольник. Область [img: http://localhost:8080/file/053109-16.jpg] разбивается на малые треугольники (конечные элементы) так, чтобы любые два треугольника либо вовсе не содержали общих точек, либо имели одну общую вершину, либо одну общую сторону. В качестве конечномерного подпространства пространства [img: http://localhost:8080/file/053109-17.jpg] выбирается пространство [img: http://localhost:8080/file/053109-18.jpg] кусочно линейных, линейных над каждым треугольником, непрерывных и обращающихся в нуль на [img: http://localhost:8080/file/053109-19.jpg] функций. Размерность пространства [img: http://localhost:8080/file/053109-20.jpg] совпадает с числом вершин треугольников (без учета их кратности), не попавших на границу [img: http://localhost:8080/file/053109-21.jpg] Указанные вершины наз. узлами. В качестве базиса [img: http://localhost:8080/file/053109-22.jpg] можно взять совокупность таких элементов [img: http://localhost:8080/file/053109-23.jpg] к-рые отличны от нуля лишь в одном узле. Характерной особенностью этого базиса является то, что у каждого его элемента носитель минимален и образован объединением всех треугольников с общей вершиной в том узле, где данный базисный элемент отличен от нуля. Благодаря этому свойству на каждом конечном элементе (к. э.) отлично от нуля не более трех (по числу вершин, не попавших на [img: http://localhost:8080/file/053109-24.jpg] базисных функций, что позволяет использовать сужения указанных базисных функций на к. э. как базис на к. з. и проводить все вычисления на к. э. без привлечения информации о других к. э. Указанное свойство базиса делает м. к. э. весьма технологичным с точки зрения использования ЭВМ [10]. Если, напр.. [img: http://localhost:8080/file/053109-25.jpg] - единичный квадрат, а разбиение [img: http://localhost:8080/file/053109-26.jpg] на к. э. осуществляется тремя семействами эквидистантных прямых [img: http://localhost:8080/file/053109-27.jpg] то при условии, что отличные от нуля значения базисных функций равны единице, для коэффициентов с тп разложения приближенного решения [img: http://localhost:8080/file/053109-28.jpg] получают систему уравнений, в точности совпадающую с системой уравнений метода конечных разностей. При этом с тп будут значениями приближенного решения в узлах. Точность описанного м. к. э. характеризуется оценкой [img: http://localhost:8080/file/053109-29.jpg] где h - максимальный линейный размер к. э. Чтобы получить большую точность, нужно приближенное решение искать не в пространстве кусочно линейных функций, а в пространстве кусочно квадратичных или, вообще, кусочно полиномиальных функций. Точность в этом случае при надлежащей гладкости искомого решения будет О(hk), где k - степень используемых многочленов. Помимо треугольных к. э. можно использовать и четырехугольные к. э., однако, если стороны четырехугольников не параллельны координатным осям, то необходимо применять -изопараметрич. технику, т. е. сначала отобразить рассматриваемый к. э. на канонич. к. э. (в данном случае на прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям) при помощи невырожденного преобразования, обратное к к-рому задается теми же самыми функциями, что и приближенное решение на канонич. к. э. Можно использовать треугольники и четырехугольники с криволинейными сторонами (снова применяя изопараметрич. технику), что необходимо при решении задач в областях с гладкой границей методами более высокого порядка точности, чем первый. Помимо м. к. э. галеркинского типа, существуют так наз. неконформные м. к. э., решения в к-рых ищутся в пространствах, не являющихся подпространствами исходных пространств. Особенно часто такие м. к. э: применяются для задач, связанных с Э. т. у. более высокого, чем второй, порядка. И метод конечных разностей, и м. к. э. приводят к системам линейных алгебраич. уравнений большого порядка с разреженными матрицами; подавляющее большинство элементов этих матриц нулевые (см. [11], [12]). Получил значительное развитие еще один метод приближенного решения краевых задач для Э. т. у.- метод граничных элементов [13].