Энгеля теорема

пусть для конечномерной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/053109-76.jpg] над полем kлинейные операторы ad X (где ad X(Y) = [X, Y]) нильпотентны для всех [img: http://localhost:8080/file/053109-77.jpg] Тогда существует базис алгебры [img: http://localhost:8080/file/053109-78.jpg] относительно к-рого матрицы всех операторов ad Xтреугольны и имеют нулевую диагональ. Ф. Энгель доказал (ок. 1887, опубликовано в [1]), что алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/053109-79.jpg] с указанным свойством разрешима, откуда, в силу Ли теоремы, непосредственно вытекает сформулированное выше утверждение. Первое опубликованное доказательство Э. т. принадлежит В. Киллингу [2], указывавшему на приоритет Ф. Энгеля. Э. т. формулируется часто в следующей более общей форме: если [img: http://localhost:8080/file/053109-80.jpg] - линейное представление конечномерной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/053109-81.jpg] в векторном пространстве V [img: http://localhost:8080/file/053109-82.jpg] и V - над произвольным полем), причем [img: http://localhost:8080/file/053109-83.jpg] - нильпотентный эндоморфизм для любого [img: http://localhost:8080/file/053109-84.jpg] то существует ненулевой вектор [img: http://localhost:8080/file/053109-85.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/053109-86.jpg] 0 для любого [img: http://localhost:8080/file/053109-87.jpg] Если Vконечномерно, то отсюда выводится существование в Vбазиса, относительно к-рого все [img: http://localhost:8080/file/053109-88.jpg] имеют треугольные матрицы с нулевой диагональю (или, что то же, существует полный флаг F={Vi}в V, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/053109-89.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/053109-90.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/053109-91.jpg] Заключение Э. т. справедливо также для любого представления р, для к-рого алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/053109-92.jpg] является линейной оболочкой нек-рого своего подмножества, состоящего из нильпотентных эндоморфизмов и замкнутого относительно операции коммутирования [4]. Алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/053109-93.jpg] наз. энгелевой, если любой [img: http://localhost:8080/file/053109-94.jpg] является энгелевым элементом, т. е. если все операторы ad X, [img: http://localhost:8080/file/053109-95.jpg] нильпотентны или, что то же, если для любого Xнайдется такое n, что [img: http://localhost:8080/file/053109-96.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/053109-97.jpg] Конечномерная алгебра Ли энгелева тогда и только тогда, когда она нильпотентна. Для бесконечномерных алгебр нильпотентность не вытекает из энгелевости, однако конечно порожденная алгебра Ли, в к-рой (ad Х) п=0для нек-рого п(где пне зависит от X), нильпотентна [3].