Эргодичность

динамической системы - свойство, рассматриваемое в эргодической теории. Первоначально оно определялось для каскадов{ Т k}и потоков {Tt} с конечной инвариантной меройm следующим образом: если на фазовом пространстве Wзадана функция [img: http://localhost:8080/file/053111-20.jpg] то для почти каждой точки wсуществует временное среднее вдоль траектории этой точки, т. е. [img: http://localhost:8080/file/053111-21.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/053111-22.jpg] к-рое совпадает с пространственным средним (т. e. с [img: http://localhost:8080/file/053111-23.jpg] В этом случае говорят также об эргодичности меры [img: http://localhost:8080/file/053111-24.jpg] В частности, для любого измеримого множества [img: http://localhost:8080/file/053111-25.jpg] среднее время пребывания в Атраектории почти каждой точки пропорционально [img: http://localhost:8080/file/053111-26.jpg] (на самом деле это свойство эквивалентно Э.). Когда была доказана Биркгофа эргодическая теорема, стало ясно, что Э. эквивалентна метрической транзитивности. В связи с этим стали говорить об Э., понимая под ней метрич. транзитивность, в более общей ситуации, когда уже не приходится говорить о совпадении временных и пространственных средних (системы с бесконечной инвариантной или квазиинвариантной мерой, не только потоки и каскады, но и более общие группы и полугруппы преобразований). Д. В. Аносов.