Эрмитова метрика

- 1) Э. м. в комплексном векторном пространстве V - положительно определенная эрмитова форма в V. Пространство V, снабженное Э. м., наз. унитарным (или комплексно евклидовым, или эрмитовым векторным) пространством, а Э. м. в нем - эрмитовым скалярным произведением. Любые две Э. м. в Vпереводятся друг в друга автоморфизмом пространства V. Таким образом, множество всех Э. м. в Vявляется однородным пространством группы [img: http://localhost:8080/file/053112-8.jpg] и отождествляется [img: http://localhost:8080/file/053112-9.jpg] где n=dim V. Комплексное векторное пространство. можно рассматривать как вещественное векторное пространство [img: http://localhost:8080/file/053112-10.jpg] снабженное оператором комплексной структуры J(x) = ix. Если h - Э. м. в V, то форма g=Re hявляется евклидовой метрикой (скалярным произведением) в V, а форма [img: http://localhost:8080/file/053112-11.jpg] - невырожденной кососимметрической билинейной формой в V. При этом [img: http://localhost:8080/file/053112-12.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053112-13.jpg] Любая из форм [img: http://localhost:8080/file/053112-14.jpg] однозначно определяет h. 2) Э. м. в комплексном векторном расслоении [img: http://localhost:8080/file/053112-15.jpg] - функция [img: http://localhost:8080/file/053112-16.jpg] на базе М, сопоставляющая точке [img: http://localhost:8080/file/053112-17.jpg] эрмитову метрику gp в слое [img: http://localhost:8080/file/053112-18.jpg] расслоения [img: http://localhost:8080/file/053112-19.jpg] и удовлетворяющая следующему условию гладкости: для любых гладких локальных сечений е, е' расслоения [img: http://localhost:8080/file/053112-20.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/053112-21.jpg] является гладкой. В любом комплексном векторном расслоении существует Э. м. Связность [img: http://localhost:8080/file/053112-22.jpg] в комплексном векторном расслоении [img: http://localhost:8080/file/053112-23.jpg] наз. согласованной с Э. м. g, если gи оператор Jкомплексной структуры в слоях расслоения [img: http://localhost:8080/file/053112-24.jpg] ковариантно постоянны (т. е. [img: http://localhost:8080/file/053112-25.jpg] иначе говоря, если соответствующий параллельный перенос слоев расслоения [img: http://localhost:8080/file/053112-26.jpg] вдоль кривых на базе является изоморфизмом слоев как унитарных пространств. Для любой Э. м. существует согласованная с ной связность, к-рая, вообще говоря, не единственна. В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/053112-27.jpg] есть голоморфное векторное расслоение над комплексным многообразием. (см. Векторное аналитическое расслоение), существует единственная связность [img: http://localhost:8080/file/053112-28.jpg] расслоения [img: http://localhost:8080/file/053112-29.jpg] согласованная с данной Э. м. и удовлетворяющая следующему условию: ковариантная производная любого голоморфного сечения ерасслоения [img: http://localhost:8080/file/053112-30.jpg] относительно любого антиголоморфного комплексного векторного ноля [img: http://localhost:8080/file/053112-31.jpg] на Мравна нулю (каноническая эрмитова связность). Форму кривизны этой связности можно рассматривать как 2-форму типа (1,1) на Мсо значением в расслоении эндоморфизмов векторного расслоения [img: http://localhost:8080/file/053112-32.jpg] Канонич. связность можно рассматривать также как связность в главном [img: http://localhost:8080/file/053112-33.jpg] -расслоении [img: http://localhost:8080/file/053112-34.jpg] ассоциированном с голоморфным расслоением [img: http://localhost:8080/file/053112-35.jpg] комплексной размерности п. Она характеризуется как единственная связность в [img: http://localhost:8080/file/053112-36.jpg] горизонтальные подпространства к-рой являются комплексными подпространствами касательных пространств комплексного многообразия Р.