Этальные когомологии

- когомологии пучков в эталъной топологии. Они определяются стандартным образом при помощи производных функторов. А именно, пусть X - схема и Xet -этальная топология на X. Тогда категория пучков абелевых групп на Xet является абелевой категорией с достаточным количеством инъективных объектов. Функтор Г глобальных сечений точен слева, и его производные функторы [img: http://localhost:8080/file/053112-127.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/053112-128.jpg] -пучок абелевых групп на Xet) наз. функторами когомологий. При этом [img: http://localhost:8080/file/053112-129.jpg] [img: http://localhost:8080/file/053112-130.jpg] Аналогично определяются высшие прямые образы [img: http://localhost:8080/file/053112-131.jpg] пучка [img: http://localhost:8080/file/053112-132.jpg] относительно морфизма [img: http://localhost:8080/file/053112-133.jpg] для них имеет место аналог Лере спектральной последовательности. Если [img: http://localhost:8080/file/053112-134.jpg] -пучок неабелевых групп, удается определить множество [img: http://localhost:8080/file/053112-135.jpg] (см. Нсабелевы когомологии). Наиболее важные результаты в теории Э. к. получены для конструктивных этальных пучков абелевых групп. Центральный из них - теорема конечности и замены базы: пусть [img: http://localhost:8080/file/053112-136.jpg] -собственный морфизм, и [img: http://localhost:8080/file/053112-137.jpg] -конструктивный пучок на X. Тогда пучки [img: http://localhost:8080/file/053112-138.jpg] конструктивны, и слой [img: http://localhost:8080/file/053112-139.jpg] в геометрич. точке [img: http://localhost:8080/file/053112-140.jpg] изоморфен группе когомологии [img: http://localhost:8080/file/053112-141.jpg] слоя [img: http://localhost:8080/file/053112-142.jpg] Аналогичные теоремы верны для любого морфизма конечного типа, если использовать когомологии с компактными носителями. Если X - алгебраич. многообразие над алгебраически замкнутым полем, то для любого конструктивного пучка [img: http://localhost:8080/file/053112-143.jpg] на. когомологии с компактными носителями [img: http://localhost:8080/file/053112-144.jpg] конечны и равны 0 при q > 2dim X. Если к тому же X - аффинное многообразие, то [img: http://localhost:8080/file/053112-145.jpg] для q>dim X. Для многообразий над полем комплексных чисел Э. к. конструктивных пучков совпадают с классич. когомологиями со значениями в этих пучках. Справедлива теорема о специализации для гладкого морфизма: пусть [img: http://localhost:8080/file/053112-146.jpg] - гладкий собственный морфизм схем, и целое число побратимо на Y; тогда пучки [img: http://localhost:8080/file/053112-147.jpg] локально постоянны на Y. Для Э. к. имеют место аналог двойственности Пуанкаре (см. Двойственность в алгебраической геометрии) и Кюннета формулы. Каждый алгебраич. цикл коразмерности iдает класс когомологий в размерности 2i, что позволяет построить теорию Чжэня классов. Э. к. конструктивных пучков используются для построения l-адических когомологий и доказательства гипотез Вейля о дзета-функции.