Ядерная билинейная форма

билинейная форма В(f, g)на декартовом произведении [img: http://localhost:8080/file/053301-5.jpg] локально выпуклых пространств Fи G, допускающая представление вида [img: http://localhost:8080/file/053301-6.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/053301-7.jpg] - суммируемая последовательность, {f'i} и {g'i}- равностепенно непрерывные последовательности в сопряженных к Fи G пространствах F' и G' соответственно, а значение линейного функционала а' на векторе а обозначается < а, а'>. Все Я. б. ф. непрерывны. Если F - ядерное пространство, то для любого локально выпуклого пространства G все непрерывные билинейные формы на [img: http://localhost:8080/file/053301-8.jpg] являются ядерными (теорема о ядре). Этот результат принадлежит А. Гротендику [1]; в приведенной форме теорема о ядре сформулирована в [2], другие формулировки см. в [3]. Справедливо и обратное утверждение: если для пространства. выполняется заключение теоремы о ядре, то это пространство ядерно. Для пространств гладких финитных функций теорему о ядре впервые получил Л. Шварц [4]. Пусть D - ядерное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на прямой, наделенное стандартной локально выпуклой топологией Шварца, так что сопряженное пространство D' состоит из всех обобщенных функций на прямой. Для частного случая F=G=D теорема о ядре эквивалентна следующему утверждению: всякий непрерывный билинейный функционал на [img: http://localhost:8080/file/053301-9.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/053301-10.jpg] где f(t), [img: http://localhost:8080/file/053301-11.jpg] и F=F(t1, t2) - обобщенная функция от двух переменных. Аналогичную формулировку допускает теорема о ядре для пространств гладких финитных функций от нескольких переменных, пространств быстро убывающих функций и других конкретных ядерных пространств. Аналогичные результаты справедливы и для полилинейных форм. Непрерывную билинейную форму В(f,g) на [img: http://localhost:8080/file/053301-12.jpg] можно отождествить с непрерывным линейным оператором [img: http://localhost:8080/file/053301-13.jpg] с помощью равенства [img: http://localhost:8080/file/053301-14.jpg] что приводит к формулировке теоремы Шварца о ядре: для каждого непрерывного линейного отображения [img: http://localhost:8080/file/053301-15.jpg] существует такая однозначно определенная обобщенная функция F(t1, t2)от двух переменных, что [img: http://localhost:8080/file/053301-16.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/053301-17.jpg] Другими словами, A является интегральным оператором с ядром F.